Question

1．如图甲所示，直角坐标系xoy中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场．第一、四象限内有垂直坐标平面的匀强交变磁场．磁场方向垂直纸面向外为正方向．第三象限内有一发射装置（没有画出）沿y轴正方向射出一个比荷$\frac{q}{m}$=100C/kg的带正电的粒子，（可视为质点且不计重力），该粒子以v₀=10m/s的速度从x轴上的点A（-1m.0）进入第二象限．从y轴上的点C（0，2m）进入第一象限．取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化．g=10m/s²

（1）求第二象限内电场的电场强度大小；
（2）求粒子第一次经过x轴时的位置坐标；
（3）若保持第一、四象限内的磁场大小不变，使其周期变为T₀=$\frac{3π}{80}$s，该粒子的运动轨迹与x轴的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理及类平抛运动的规律求解
（2）粒子在交变磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出半径和周期，根据几何关系求出交点坐标
（3）画出轨迹，考虑周期性，结合几何关系求交点坐标

解答 解：（1）带电粒子在第二象限的电场中做类平抛运动，设粒子从A点到C点用时为t，则
$Eq\\{x}_{A}^{\;}\\$$|{x}_{A}^{\;}|$=$\frac{1}{2}m（{v}_{C}^{2}-{v}_{0}^{2}）$
$|{x}_{A}^{\;}|=\frac{{v}_{Cx}^{\;}}{2}t$       
${y}_{C}^{\;}={v}_{0}^{\;}t$
${v}_{C}^{2}={v}_{0}^{2}+{v}_{Cx}^{2}$
解得：E=0.5N/C          ${v}_{C}^{\;}=10\sqrt{2}m$
（2）设粒子在C点的运动方向与y轴正方向成θ角，则
$cosθ=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{v}_{C}^{\;}}=\frac{\sqrt{2}}{2}，即θ=45°$
粒子在第一象限磁场中运动时$q{v}_{C}^{\;}B=m\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}m$
粒子做圆周运动的周期$T=\frac{2πr}{{v}_{C}^{\;}}=\frac{π}{20}s$
所示粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示，粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴，在x轴上对应的弦长为$r\sqrt{2}$
所以$OD=2m-r\sqrt{2}$=1.5m
粒子第一次经过x轴时的位置坐标为（1.5m，0）
（3）在磁场变化的前半个周期内，设粒子偏转的角度为β，则
$β=\frac{2π}{T}×\frac{{T}_{0}^{\;}}{2}=\frac{3π}{4}$
在该段时间内粒子沿y轴负方向运动的距离$△y=rsinθ=\frac{1}{4}m$，沿x轴正方向运动的距离为
$△x=r（1+cosθ）=\frac{\sqrt{2}+1}{4}m$
因为$\frac{{y}_{C}^{\;}}{△y}=8$，所以粒子运动轨迹如图乙所示，粒子在磁场变化的第8个半周期和第9个半周期内共经过x轴3次
第1次：${x}_{1}^{\;}=8△x-2rcosθ=（2\sqrt{2}+\frac{3}{2}）m$
第2次：${x}_{2}^{\;}=8△x=（2\sqrt{2}+2）m$
第3次：${x}_{3}^{\;}=8△x+2rcosθ=（2\sqrt{2}+\frac{5}{2}）m$
答：（1）第二象限内电场的电场强度大小0.5N/C；
（2）粒子第一次经过x轴时的位置坐标（1.5m，0）；
（3）若保持第一、四象限内的磁场大小不变，使其周期变为T₀=$\frac{3π}{80}$s，该粒子的运动轨迹与x轴的交点坐标${x}_{1}^{\;}=（2\sqrt{2}+\frac{3}{2}）m$，${x}_{2}^{\;}=（2\sqrt{2}+2）m$，${x}_{3}^{\;}=（2\sqrt{2}+\frac{5}{2}）m$．

点评 本题中质点在复合场运动，分析受力情况，确定质点的运动情况是解题的基础．结合粒子运动的周期性，运用数学几何知识综合求解．