Question

12．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为45°．已知重力加速度大小为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为f=$\frac{\sqrt{2}}{4}$mg．
（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω₀；
（2）若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的范围．

Answer 1

分析 （1）小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，求得角速度的大小
（2）当ω＞ω₀时，重力和支持力的合力不够提供向心力，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，根据牛顿第二定律及平衡条件求解最大角速度，当ω＜ω₀时，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当角速度最小时，摩擦力向上达到最大值，根据牛顿第二定律及平衡条件求解最小值

解答 解：（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，
有：$mgtan45°=mRsin45{°ω}_{0}^{2}$
解得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$
（2）当ω＞ω₀时，重力和支持力的合力不够提供向心力，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，设此最大角速度为ω₁，受力如图：
由牛顿第二定律得，
${F}_{f}cos45°+{F}_{N}cos45°=mRsin45{°ω}_{1}^{2}$
F_fsin45°+mg=F_Nsin45°
联立以上三式解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}g}{2R}}$
当ω＜ω₀时，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当角速度最小时，摩擦力向上达到最大值，设此最小角速度为ω₂
由牛顿第二定律得，${F}_{N}cos45°-{F}_{f}cos45°=mRsin45{°ω}_{2}^{2}$
F_fsin45°+F_Nsin45°=mg
联立三式解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}$      
所以   $\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}≤ω≤\sqrt{\frac{3\sqrt{3}g}{2R}}$
答：（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，此时的角速度ω₀为$\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$
（2）若小物块一直相对陶罐静止，陶罐旋转的角速度的范围为  $\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}≤ω≤\sqrt{\frac{3\sqrt{3}g}{2R}}$

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解，难度适中