Question

如图（a）所示，长为L、相距为d的两平行金属板加一交变电压（图中未画出电源）．交变电压的变化规律如图（b）所示，设u为正值时A板带正电．有一质量为m、带电荷为-q的粒子以初速度v₀从板中央水平射入电场，从飞入时刻（t=0）算起，为使带电粒子离开电场时的速度方向平行于金属板，问：
（1）交变电压周期T需满足什么条件？
（2）交变电压的最大值U₀的取值范围是什么？

Answer 1

分析：（1）带电粒子进入电场后做类平抛运动，要使带电粒子离开电场时的速度方向平行于金属板，粒子穿过电场的时间应是t=nT，粒子水平方向做匀速直线运动，由t=

L

v0

求出时间，联立即可得到周期T满足的条件．
（2）在竖直方向上带电粒子通过的位移大小相等，由牛顿第二定律和运动学求出一个周期内竖直方向的位移大小h₁，带电粒子在n个周期内的位移为h=nh₁，要使粒子能离开电场，h应满足的条件是h≤

d

2

，即可求出交变电压的最大值U₀的取值范围．

解答：解：（1）带电粒子穿越电场所需时间t=

T

v0

  ①
粒子飞出电场时速度方向平行于金属板，所以：t=nT  其中n=1，2，3…②
   T=

t

n

=

L

nv0

（n=1，2，3…） ③
（2）竖直方向上带电粒子在一个周期内的位移h1=

1

2

a(

T

2

)2×2=

U0q

md

?

T2

4

=

U0qT2

4md

 ④
带电粒子在n个周期内的位移h=nh₁=n

U0qT2

4md

  ⑤
根据题意，电子能离开电场，必有 h≤

d

2

，⑥
得 n

U0qT2

4md

≤

d

2

   
 解得U₀≤

2d2m

nqT2

将 T=

t

n

=

L

nv0

（n=1，2，3…）  代入得
  U₀≤

2n v 2 0 d2m

qL2

答：
（1）交变电压周期T需满足的条件是 T=

t

n

=

L

nv0

（n=1，2，3…）．
（2）交变电压的最大值U₀的取值范围是U₀≤

2n v 2 0 d2m

qL2

（n=1，2，3…）．

点评：本题考查带电粒子在电场中的偏转，理清粒子的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律进行求解．