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    12．如图所示，光滑斜面与水平面的夹角为θ，该空间存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ的磁场方向垂直于斜面向下，区域Ⅱ的磁场方向垂直于斜面向上，两匀强磁场在斜面上的宽度均为L．一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形金属线框，由静止开始沿斜面下滑，当线框刚进入磁场区域Ⅰ时，恰好做匀速直线运动；当线框刚好有一半进入磁场区域Ⅱ时，线框又恰好做匀速直线运动．求：
    （1）当线框刚进入磁场区域Ⅰ时的速度v；
    （2）当线框刚进入磁场区域Ⅱ时的加速度a；
    （3）从线框刚进入磁场区域Ⅰ到刚好有一半进入磁场区域Ⅱ的过程中产生的热量Q．

    分析 （1）根据线框重力沿斜面的分力等于安培力，求出线框刚进入磁场区域Ⅰ时的速度．
    （2）当线框刚进入磁场区域Ⅱ时，上下两条边均受到安培力，根据牛顿第二定律求出加速度．
    （3）根据平衡求出线框刚进入磁场区域Ⅰ到刚好有一半进入磁场区域Ⅱ时的速度，结合能量守恒定律求出产生的热量．

    解答 解：（1）ab边刚越过ee′，恰好做匀速直线运动，线框所受合力为零，
    E=BLv，I=$\frac{E}{R}$，
    则mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
    解得v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，方向沿斜面向下．
    （2）当ab边刚越过ff′时，
    线框中的总感应电动势E′=2BLv，
    线框所受安培力F=2×$\frac{2BLv}{R}$×LB=4$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
    方向沿斜面向上．
    由牛顿第二定律得F-mgsinθ=ma，
    即a=$\frac{F}{m}$-gsinθ=4$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$$•\frac{1}{m}$-gsinθ=3gsinθ，方向沿斜面向上．
    （3）设线框再次做匀速运动的速度为v′，
    则mgsinθ=2×$\frac{2BLv′}{R}$LB，
    得v′=$\frac{1}{4}$$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{v}{4}$，
    由能量守恒定律，得
    Q=mg×$\frac{3}{2}$Lsinθ+（$\frac{1}{2}$mv2-$\frac{1}{2}$mv′2）=$\frac{3}{2}$mgLsinθ+$\frac{15{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{32{B}^{4}{L}^{4}}$．

    答：（1）当线框刚进入磁场区域Ⅰ时的速度v为$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，方向沿斜面向下；
    （2）当线框刚进入磁场区域Ⅱ时的加速度a为3gsinθ，方向沿斜面向上；
    （3）从线框刚进入磁场区域Ⅰ到刚好有一半进入磁场区域Ⅱ的过程中产生的热量Q为$\frac{2}{3}$mgLsinθ+$\frac{15{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{32{B}^{4}{L}^{4}}$．

    点评 此类问题的关键是明确所研究物体运动各个阶段的受力情况，做功情况及能量转化情况，选择利用牛顿运动定律、动能定理或能的转化与守恒定律解决针对性的问题，由于过程分析不明而易出现错误，所以，本类问题属于难题中的易错题．

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