Question

3．在倾角为30°的斜面上，固定一挡板，在挡板和斜面之间放置一重为G=20N的光滑圆球，如图甲和乙所示．

（1）试求出两种情况下，斜面和挡板对球的作用力分别为多大？（画出正确的受力分析示意图）
（2）若挡板可绕其下端逆时针从甲图的位置缓慢转到水平的过程中，试通过作图分析说明斜面和挡板对小球的作用力大小如何变化？

Answer 1

分析 （1）将小球的重力按作用效果进行分解，作出力图，根据数学知识求出球对斜面的压力和对档板的压力．
（2）在球所受的三个力中，重力大小方向都不变，斜面支持力方向不变，三力的合力为零，作出几个有代表性的图进行分析．

解答 解：（1）对球受力分析如图所示：

由于光滑圆球受共点力处于静止状态，所以光滑圆球的合力为0．将N₁在水平方向和竖直方向分解，由共点力平衡的条件得出：
甲，斜面对球的作用力：${N_1}=\frac{mg}{cos30°}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}mg$=$\frac{40\sqrt{3}}{3}$N；
挡板对球的作用力：${N_2}=mgtan30°=\frac{{\sqrt{3}}}{3}mg$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$N；
乙，斜面对球的作用力：${N_1}=mgcos30°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}mg$=10$\sqrt{3}$N；
挡板对球的作用力：${N_2}=mgsin30°=\frac{1}{2}mg$=10N．
（2）受力分析如图，将N₁与N₂合成，其合力与重力等大反向，

挡板转动时，挡板给球的弹力N₁与斜面给球的弹力N₂合力大小方向不变，其中N₂的方向不变，作辅助图如上，挡板转动过程中，N₁的方向变化如图中a、b、c的规律变化，为满足平行四边形定则，其大小变化规律为先变小后变大，其中挡板与斜面垂直时为最小；故N₁先减小后增大，N₂一直减小；
根据牛顿第三定律，知球对斜面的压力一直减小，对挡板的压力先减小后增大．
答：（1）甲图斜面对球的作用力是$\frac{40\sqrt{3}}{3}$N，挡板对球的作用力是$\frac{20\sqrt{3}}{3}$N；乙图斜面对球的作用力是10$\sqrt{3}$N，挡板对球的作用力是10N．
（2）斜面对小球的作用力逐渐减小；挡板对小球的作用力先减小后增大；

点评 本题关键是对小球受力分析，然后根据平衡条件并运用合成法分析；要明确三力平衡中，任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线．