Question

鲜蛋储运箱中有光滑的塑料蛋托架,架上有整齐排列的卵圆形凹槽,将蛋放在槽中,可避免互相挤压、碰撞并能减震。假设蛋和槽的横截面为球形,如图所示。图中O为圆心,A、B两点为水平槽口,α角为半径OA与水平线AB的夹角。

(1)已知蛋的质量为m,当运蛋的汽车以加速度a向前加速前进时(设此时蛋仍在槽内),槽对蛋的作用为力多大?

(2)已知汽车轮胎与柏油路面间的动摩擦因数为μ,当运蛋的汽车紧急刹车时,为避免蛋从槽内滚出,图中α应满足什么条件?(可用三角函数表示)

Answer 1

解：本题中的蛋与凹槽的接触面为曲面,接触面上每一点均对蛋产生支持力。当凹槽静止或匀速运动时,曲面对蛋的支持力竖直向上。当凹槽加速运动时,曲面对蛋的支持力将偏离竖直方向,偏转角度的大小与加速度大小有关。当加速度增大到某一数值时,只有凹槽的A点或B点对蛋有作用力,力将偏离竖直方向(90°-α)的角,这时蛋处于将要从槽中滚出而又未滚出的临界状态。

(1)鲜蛋受两个力的作用：重力mg、槽对蛋的作用力F,其合力为ma,如图甲所示。则槽对蛋的作用力

F=m。

(2)由题图得,当槽对蛋的作用力F的方向与水平方向间的夹角超过α时,蛋将从槽中滚出的临界情况如图乙所示。

即为避免蛋从槽中滚出,应有cotα＞

汽车紧急刹车时,取整个汽车为研究对象,其所受摩擦力使汽车做减速运动,有：μMg=Ma

综合以上两式得α应满足的条件是cotα＞μ。