Question

18．如图，一质量m=0.2kg的可视为质点的小滑块，以一定的初速度滑上长为L=1m的水平传送带右端A，小滑块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，传送带的左端B与一光滑半圆轨道顶端C相连，小滑块能从皮带上的B点通过圆弧轨道的C点进入圆弧轨道内侧，且无能量损失．圆弧轨道的半径R=0.4m，圆弧轨道的底端D与一高为h=0.8m，底边长为x=2m的光滑斜面EFG的E点连接．（g取10m/s²）
（1）若皮带静止，要使小滑块能滑上圆弧轨道做圆运动，求小滑块滑上皮带右端时的最小速度v₀的大小；
（2）若皮带沿逆时针方向转动且皮带速度可取不同的值，小滑块以第（1）问中的v₀滑上皮带右端，求小滑块运动至圆弧底端D点时轨道对小滑块支持力的最大值；
（3）若皮带仍沿逆时针方向转动且皮带速度可取不同的值，小滑块以第（1）问中的v₀滑上皮带右端，要使小滑块落在斜面EF上，求皮带速度v的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以滑块从A到B的过程为研究对象，应用动能定理，可以引入初速度．在C点应用牛顿第二定律可求C点的速度，即为B的速度，可以得到初速度．
（2）若一直加速到C速度最大，由牛顿第二定律可得加速度，有运动学可求末速度，在由牛顿第二定律可得最大压力．
（3）从D到F做平抛运动，由平抛规律可求D的速度；由动能定理可求C点的速度，此速度为皮带速度的最大值．

解答 解：（1）滑块从A到B过程，根据动能定理，有：-μmgL=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²
在C点，重力提供向心力，有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
联立并代入数据解得：v₀=2$\sqrt{2}$m/s．
（2）如果一直加速，加速度：a=μg=0.2×10=2m/s²
根据速度位移公式，有：v₂²-v₀²=2aL
代入数据解得：v₂=2$\sqrt{3}$m/s，
在C点，合力提供向心力，故：N+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
代入数据解得：N=4N．
即轨道对小滑块支持力的最大值是4N．
（3）从D到F做平抛运动，故：
  x=v_Dt，
  h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：v_D=x$\sqrt{\frac{g}{2h}}$=2×$\sqrt{\frac{10}{2×0.8}}$=5m/s，
从C到D根据动能定理：mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²
代入数据解得：v_C=3m/s．
故传送带的速度范围：2$\sqrt{2}$m/s＜v＜3m/s．
答：（1）若皮带静止，要使小滑块能滑上圆弧轨道做圆运动，小滑块滑上皮带右端时的最小速度v₀的大小为2$\sqrt{2}$m/s；
（2）若皮带沿逆时针方向转动且皮带速度可取不同的值，小滑块以第（1）问中的v₀滑上皮带右端，小滑块运动至圆弧底端D点时轨道对小滑块支持力的最大值4N；
（3）若皮带仍沿逆时针方向转动且皮带速度可取不同的值，小滑块以第（1）问中的v₀滑上皮带右端，要使小滑块落在斜面EF上，皮带速度v的取值范围2$\sqrt{2}$m/s＜v＜3m/s．

点评 本题是一大力学综合题，物体运动过程复杂，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键；在分析清楚物体的运动情况的基础上，选择物理规律解答．