Question

如图，水平地面和半圆轨道面均光滑，质量M＝1kg的小车静止在地面上，小车上表面与m的半圆轨道最低点P的切线相平。现有一质量m＝2kg的滑块（可视为质点）以＝6m/s的初速度滑上小车左端，二者共速时小车还未与墙壁碰撞，当小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ＝0.2，g取10m/s²．

（1）求小车的最小长度。

（2）讨论小车的长度L在什么范围，滑块能滑上P点且在圆轨道运动时不脱离圆轨道？

Answer 1

（1）设滑块与小车的共同速度为v₁，滑块与小车相对运动过程中动量守恒，有：

  ……………………………………………………………（2分）

代入数据解得：   …………………………………………………（2分）

设小车的最小长度为L₁，由系统能量守恒定律，有：

 ……………………………………………（2分）

代入数据解得：  ………………………………………………………（2分）

（2）设小车与墙壁碰撞时，滑块与P点的距离为L₂，若滑块恰能滑过圆的最高点，设滑至最高点的速度为v，临界条件为：

  …………………………………………………………………①（2分）

根据动能定理，有：

  ……………………………………②（1分）

①②联立并代入数据解得：L₂=1m   ………………………………………………………（1分）

这种情况下小车的长度为：m 

若滑块恰好滑至圆弧到达Ｔ点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．

根据动能定理，有：

  …………………………………………（1分）

代入数据解得： m        ………………………………………………（1分）

这种情况下小车的长度为：m  

若滑块滑至P点时速度恰好为零，由动能定理，有：

   ………………………………………………………………（1分）

解得：m        ………………………………………………………………（1分）

这种情况下小车的长度为：m 

综上所述，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半圆轨道的半径必须满足：

或<7m               …………………………………（2分）