Question

航天宇航员在月球表面完成了如下实验：如图所示，在月球表面固定一竖直光滑圆形轨道，在轨道内的最低点，放一可视为质点的小球，当给小球水平初速度v₀时，小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动．已知圆形轨道半径为r，月球的半径为R．求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）轨道半径为2R的环月卫星周期T．

Answer 1

分析：（1）小球从圆轨道最低点到最高点过程中，只有月球的引力做负功，由动能定理求得到达最高点的速度，而此刻速度满足月亮的引力提u供其沿圆周运动的向心力，由牛顿第二定律列方程，即可求得月球表面的重力加速度
（2）根据万有引力提供向心力求解

解答：解：（1）设小球的质量为m，月球的质量为M，因小球在最高点恰好完成圆周运动，设最高点时小球速度为v，由牛顿第二定律得：
mg=

mv2

r

①
从最低点带最高点过程中，由动能定理得：
-mg×2r=

1

2

mv²-

1

2

m

v

2 0

②
由①②得g=

v 2 0

5r

   ③
（2）根据万有引力提供向心力得
对卫星：

GMm

(2R)2

=m

4π2

T2

×2R   ④
对小球：

GMm′

R2

=m′g   ⑤
由③④⑤得：T=

4π

v0

10Rr

答：（1）月球表面的重力加速度是

v 2 0

5r

；
（2）轨道半径为2R的环月卫星周期是

4π

v0

10Rr

．

点评：掌握在任意星体的表面都有物体的万有引力等于重力这一等式结合万有引力提供向心力求解．