Question

（2011?宜兴市模拟）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球．已知O点到斜面底边的距离s_OC=L． 
（1）试证明小球只要能在光滑斜面上做完整的圆周运动，则在最高点A和最低点B时细线上拉力之差为恒量．
（2）若小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，小球运动到A点或B点时细线断裂，若两种情况下小球滑落到斜面底边时到C点的距离相等，则l和L应满足什么关系？

Answer 1

分析：（1）小球从最高点运动到最低点机械能守恒，列出等式表示出小球在A、B两点时的速度分别为v_A、v_B
的关系．在A、B两点对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律求解．
（2）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力为零．根据圆周运动规律和牛顿第二定律求出A点速度．小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律列出等式求出B点速度．小球运动到A点火B点时细线断裂，小球在平行于底边的方向上匀速运动，在垂直于底边的方向上做初速为零的匀加速运动，根据运动规律求解．

解答：解：（1）设小球在A、B两点时的速度分别为v_A、v_B
则由机械能守恒：

1

2

mvB2=

1

2

mvA2+mg?2lsinθ
在A点：TA+mgsinθ=m

vA2

l

在B点：TB-mgsinθ=m

vB2

l

则A、B两点拉力之差T_B-T_A=6mgsinθ    此为一恒量
（2）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力为零．根据圆周运动规律和牛顿第二定律有   mgsinθ=m

v 2 A

l

，
解得 vA=

glsinθ

．
小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律有

1

2

m

v

2 A

+mg?2lsinθ=

1

2

m

v

2 B

，
解得 vB=

5glsinθ

．                     
小球运动到A点火B点时细线断裂，小球在平行于底边的方向上匀速运动，在垂直于底边的方向上做初速为零的匀加速运动（类平抛运动）．
细线在A点断裂：L+l=

1

2

a

t

2 A

，s_A=v_At_A，
细线在B点断裂：L-l=

1

2

a

t

2 B

，s_B=v_Bt_B，
又 s_A=s_B，联立解得 L=

3

2

l．            
答：（1）证明过程在上面．
（2）l和L应满足关系是L=

3

2

l．

点评：本题的综合性较强，要了解物体做圆周运动的特点，同时也用到了类平抛的知识和机械能守恒，是一个很好的综合题目，很能考查学生的分析解题能力．