Question

如图是一高山滑雪运动场中的滑道，BD附近是很小的一段曲道，可认为是半径均为R=40m的两圆滑连接的圆形滑道，B点和D点是两圆弧的最高点和最低点，圆弧长度远小于斜面BC长度，一个质量m=60kg的高山滑雪运动员，从A点由静止开始沿滑道滑下，刚好能从B点水平抛出，已知AB两点间的高度差为h=25m，滑道的倾角θ=37°，取g=10m/s²．求：
（1）运动员在B点时的速度；
（2）若BD之间的高度差可忽略不计，求运动员在D点对轨道的压力；
（3）运动员从A点到B点的过程中克服摩擦力做的功；
（4）运动员在BC斜面的落点C到B点的距离（B点可认为是斜面上的最高点）．

Answer 1

分析：（1）要使运动员从B点平抛则应使重力小于等于向心力，则可得出临界速度；
（2）D点时合外力充当向心力，则由向心力公式可得出运动员在D点对轨道的压力；
（3）由动能定理可求得从A点到B点的过程中克服摩擦力做的功；
（4）运动员做平抛运动，则运动的合成与分解结合几何知识可得出BC间的距离．

解答：解：（1）刚好从圆弧最高点B平抛的条件是：mg=m

v 2 B

R

得：v_B=

gR

=20m/s．
（2）由于v_D≈v_B且在D点有：
N-mg=m

v 2 D

R

解得：N=mg+m

v 2 D

R

=1200N
（3）在A到B段应用动能定理：mgh-Wf=

1

2

m

v

2 B

-0
得克服摩擦力做功：W_f=3000J
（4）由于tanθ=

y

x

=

1 2 gt

vB

得：t=3s．
代入水平方向上：
x=v_Bt=60m． 
由几何关系可知：
 L=

x

cosθ

=75m．
答：（1）B点的速度为20m/s；
（2）运动员对轨道的压力为1200N；
（3）运动员克服摩擦力做功为3000J；
（4）BC间的距离为75m．

点评：本题中在B点要明确重力充当向心力，即为圆周运动最高点的临界条件，也是物体做平抛运动的临界值的最小条件．