Question

8．一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.2．初始时，传送带与煤块都是静止的．现让传送带以恒定的加速度a₀=4m/s²开始运动，当其速度达到v₀=8m/s后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动．求此黑色痕迹的长度．

Answer 1

分析 黑色痕迹是皮带的位移与物块位移的差，皮带的加速度大于物块的加速度，则皮带的速度先达到最大速度v₀，则皮带的过程是先匀加速直线运动，后做匀速直线运动；而物块由于速度小于皮带，则一直做匀加速直线运动直到速度增加到v₀，求出两段时间内两物体的位移差，就是摩擦痕迹的长度．

解答 解：根据“煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，
煤块的加速度a小于传送带的加速度a₀．
对煤块，根据牛顿定律，可得    a=μg=2 m/s²
设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v₀，
煤块则由静止加速到v，
对传送带有：v₀=a₀t   
代入得到：t=2s  
对煤块有：v=at=4m/s
由于a＜a₀，故v＜v₀，煤块继续受到滑动摩擦力的作用．
再经过时间t'，煤块的速度由v增加到v₀，有v₀=v+at'代入得：t'=2s
此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹．
设在煤块的速度从0增加到v₀的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s₀和s，
有 s₀=$\frac{1}{2}$a₀t²+v₀t'=24m           
而 s=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=16m$
传送带上留下的黑色痕迹的长度 l=s₀-s=8m
答：黑色痕迹的长度为8m．

点评 本题的靓点是看似简单的传送物体问题，但涉及到解决物理问题经常用到的隔离法：对物块看讲，由于速度小于皮带的速度，则一直处于加速状态；而对皮带，当速度增加到最大后就匀速直线运动，由牛顿第二定律和匀加速直线运动学公式求出两段时间内的位移差，则就求出了摩擦痕迹的长度．