Question

（2011?浙江一模）如图所示是游乐场中过山车的实物图片，左图所示是过山车的简化模型图．在模型图中水平倾角都为α=37°，斜轨道AB、CD、EF与竖直光滑圆形（圆弧）轨道圆滑连接．B、C、D、E、F为对应的切点．其中两个圆轨道半径分别为R₁=6.0m和R₃=3.0m，中间圆弧轨道的半径为R₂．且两圆形轨道的最高点P、Q与A、D、E点平齐．现使小车（视作质点）从A点以一定的初速度沿斜面向下运动．已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=1/24，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan18.5⁰=1/3．问：
（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点P处，则其在A点的初速度v₀应为多大？
（2）若在（1）问情况下小车能安全到达E点，则能否安全通过第三个圆形轨道的Q点？
（3）若小车在A点的初速度为10

2

m/s，且R₂=10m则小车能否安全通过整段轨道？

Answer 1

分析：（1）小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点P处，知道在P点小车的重力提供向心力，可求出P点的速度．根据几何关系求出AB的距离，然后对A到P运用动能定理求解．
（2）求出通过Q点的最小速度，然后对A到Q过程运用动能定理求出Q的速度，与Q点的最小速度进行比较，即可判断能否安全通过第三个圆形轨道的Q点．
（3）小车在A点的初速度为10

2

m/s，首先与第一问中的初速度比较，看能否安全通过第一个圆轨道；求出G点的最大速度，因为速度过大，会脱离轨道，然后对A到G运用动能定理求出G点的速度，与G点的最大速度进行比较，来判断能否安全通过．

解答：解：（1）小车恰好过P点，故有             mg=m

vp2

R1

得 　　vp=

gR1

  　
   小车由A到P的过程，由动能定理有
   -μmgcosα?SAB=

1

2

mvp2-

1

2

mv02　　 
由几何关系可得
               SAB=

R1

tan α 2

       
由上面三个式子，并代入数据得
            　v0=6

2

m/s  　
（2）设小车能够通过Q点，则A到Q由动能定理得
-μmgcosα（2S_AB+S_EF）=

1

2

mvQ2-

1

2

mv02   
其中  SEF=

R3

tan α 2

代入数据可得
      vQ=

42

m/s  
而车恰好能过Q点时，在Q点的速度为 vQ′=

gR3

=

30

m/s   
vQ=

42

m/s＞vQ′
故小车能安全通过第三圆轨道      
（3）小车以v=10

2

m/s的初速度从P点下滑时，因为有v=10

2

m/s＞v0=6

2

m/s
所以，小车可以通过第一圆形轨道       
设小车到中间圆弧最高点G的速度为v_G，则A到G由动能定理得
-μmgcosα2S_AB-mgh=

1

2

mvG2-

1

2

mv2   
其中  h=R₂（1-cosα）
代入数据可得 vG=

136

m/s    
小车在最高点要不脱离轨道必须满足vG′＜

gR2

=10m/s
所以小车在中间轨道上有脱离轨道的危险．即小车不能安全通过整段轨道．

点评：解决本题的关键知道在内轨道的最高点有最小速度，在外轨道的最高点有最大速度，否则会脱离轨道．以及会适当地选择研究过程，运用动能定理进行求解．