Question

【题目】如图所示，在光滑水平面右端B处连接一个竖直的、半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的小球(可视为质点)从静止开始推到B处后撤去恒力，小球沿半圆轨道运动到最高点C处后水平抛出，恰好能落回A点，则：

（1）小球到达C点时的速度为多大?

（2）推力对小球做了多少功?

（3）x取何值时，完成上述运动时所做的功最少?最少功为多少?

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做匀加速直线，当到达B点撤去恒力，让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后，又正好落回A点．因小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小；

（2）选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．

（3）力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，然后求出最小功．

（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为，
质点从C点运动到A点所用的时间为t，则在水平方向： ①

竖直方向上： ②

解①②有：

（2）对质点从A到C，由动能定理有：

解得：

（3）要使F力做功最少，确定x的取值，由④式得，

则知，只要质点在C点速度最小，则功就最小．

若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，

由牛顿第二定律有： ，解得： ⑥
由③⑥有，

解得时， 最小，最小的功