Question

目前，我国正在实施“嫦娥奔月”计划．如图所示，登月飞船以速度v₀绕月球做圆周运动，已知飞船质量为m＝1.2×10⁴ kg，离月球表面的高度为h＝100 km，飞船在A点突然向前做短时间喷气，喷气的相对速度为u＝1.0×10⁴ m/s，喷气后飞船在A点的速度减为v_A，于是飞船将沿新的椭圆轨道运行，最终飞船能在图中的B点着陆(A、B连线通过月球中心，即A、B两点分别是椭圆的远月点和近月点)，试问：

(1)飞船绕月球做圆周运动的速度v₀是多大？

(2)由开普勒第二定律可知，飞船在A、B两处的面积速度相等，即r_Av_A＝r_Bv_B，为使飞船能在B点着陆，喷气时需消耗多少燃料？已知月球的半径为R＝1700 km，月球表面的重力加速度为g＝1.7 m/s²(选无限远处为零势能点，物体的重力势能大小为E_p＝)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)当飞船以v0绕月球做半径为rA＝R＋h的 　　圆周运动时，由牛顿第二定律得， 　　(2分) 　　则(2分) 　　式中M表示月球的质量，R为月球的半径，为月球表面的重力加速度， 　　所以代入数据得，v0＝1652 m/s(2分) 　　(2)根据开普勒第二定律，飞船在A、B两处的面积速度相等，所以有rAvA＝rBvB， 　　即(R＋h)vA＝RvB　　①　　(2分) 　　由机械能守恒定律得，　　②　　(2分) 　　由①②式并代入数据得，vA＝1628 m/s(2分) 　　故登月所需速度的改变量为m/s(2分) 　　飞船在A点喷气前后动量守恒，设喷气总质量为⊿m，因喷气前的动量为mv0，喷气后的动量为(m－⊿m)vA＋⊿m(v0＋u)，前后动量相等， 　　故有mv0＝(m－⊿m)vA＋⊿m(v0＋u)，(2分) 　　故喷气所消耗的燃料的质量为⊿m＝m⊿v/(u＋⊿v)＝28.7 kg(2分)