Question

2．如图，小球a、b用等长的细线悬挂于同一固定点O．让小球a静止下垂，将小球b向右拉起，使细线水平．从静止释放小球b，两球发生弹性正碰．已知a、b两个小球的质量分别为2m和m，细线的长为L，重力加速度为g，忽略空气阻力．求：
（1）两球相碰前瞬间小球b的速度；
（2）两球相碰后小球a上升的最大高度；
（3）两球相碰后瞬间细线对小球b的拉力．

Answer 1

分析 （1）b球下摆过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律求出碰前b球的速度；
（2）碰撞过程中动量守恒，由动量守恒定律列方程，a球向左摆动过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律求出两球相碰后小球a上升的最大高度；
（3）碰撞瞬间，对b球受力分析，根据牛顿第二定律列式求解绳子拉力．

解答 解：（1）设小球b与a碰前瞬间的速度为v₀，由机械能守恒定律：$mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gL}$
（2）设碰撞后瞬间b、a两球的速度分别为v_b、v_a，由动量和机械能守恒定律mv₀=mv_b+2mv_a
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{b}}^{2}+\frac{1}{2}×2m{{v}_{a}}^{2}$
解得：${v}_{a}=\frac{2m}{m+2m}{v}_{0}=\frac{2}{3}\sqrt{2gL}$
${v}_{b}=-\frac{m}{m+2m}{v}_{0}=-\frac{1}{3}\sqrt{2gL}$
设碰撞后小球a上升的最大高度为h，由机械能守恒定律$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{a}}^{2}$
解得：$h=\frac{4}{9}L$
（3）设碰过后瞬间细线对小球b的拉力为F，由牛顿第二定律：$F-mg=m\frac{{{v}_{b}}^{2}}{L}$
解得：$F=\frac{11}{9}mg$
答：（1）两球相碰前瞬间小球b的速度为$\sqrt{2gL}$；
（2）两球相碰后小球a上升的最大高度为$\frac{4}{9}L$；
（3）两球相碰后瞬间细线对小球b的拉力为$\frac{11}{9}mg$．

点评 小球下摆或上摆过程中机械能守恒，碰撞过程中动量守恒，由动能定理（或机械能守恒定律）、动量守恒定律即可正确解题，难度适中．