Question

7．如图所示，A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离为l．在坐标系xOy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E．在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里．一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域，并再次通过A点．不计重力作用．试求：
（1）粒子经过C点时速度的大小和速度方向和x轴夹角的正切值；
（2）磁感应强度的大小B．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场作用下做类平抛运动，加速度沿y轴负方向，根据平抛运动的基本公式可求出初速度，再根据圆周运动的对称性求出C点进入磁场时的速度为v，方向可通过几何关系求解．
（2）粒子从C点进入磁场后在磁场中做速率为v的圆周运动．理论重量通过向心力，通过几何关系表示出轨道半径R，进而求出．

解答 解：带电粒子的运动轨迹如图所示：

（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有：qE=ma   ①加速度沿y轴负方向．
设粒子从A点进入电场时的初速度为v₀，由A点运动到C点经历的时间为t，
则有：h=$\frac{1}{2}$at²　  ②l=v₀t　    ③
由②③式得：v₀=l$\sqrt{\frac{a}{2h}}$   ④
设粒子从C点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量：v₁=$\sqrt{2ah}$　 ⑤
由①④⑤式得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{qE（4{h}^{2}+{l}^{2}）}{2mh}}$  ⑥
设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有：tanα=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}$　⑦
由④⑤⑦式得：tanα=$\frac{2h}{l}$  ⑧
（2）粒子从C点进入磁场后在磁场中做速率为v的圆周运动．若圆周的半径为R，
则有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$　          ⑨
设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂直，且有：$\overline{PC}$=$\overline{PA}$=R．用β表示$\overline{PA}$与y轴的夹角，
由几何关系得：Rcosβ=Rcosα+h　⑩Rsinβ=l-Rsinα⑪
由⑧⑩⑪式解得：R=$\frac{{h}^{2}+{l}^{2}}{2hl}$$\sqrt{4{h}^{2}+{l}^{2}}$⑫
由⑥⑨⑫式解得：B=$\frac{l}{{h}^{2}+{l}^{2}}$$\sqrt{\frac{2mhE}{q}}$．
答：（1）粒子经过C点时速度的大小是：$\sqrt{\frac{qE（4{h}^{2}+{l}^{2}）}{2mh}}$，速度方向和x轴夹角的正切值是：$\frac{2h}{l}$；
（2）磁感应强度的大小为：$\frac{l}{{h}^{2}+{l}^{2}}$$\sqrt{\frac{2mhE}{q}}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握平抛运动和圆周运动的基本公式，并几何几何关系解题，难度较大．