Question

18．如图，可视为质点的两个小球A和B分别系在一根不可伸长的轻绳两端，A球质量m_A大于B球质量m_B．轻绳跨在一个光滑半圆柱体上，半圆柱体固定在上表面水平的支架上，绳的长度恰为半圆弧长的$\frac{2}{3}$．初始时，A、B球等高，将两球从静止释放，当B球到达半圆上最高点C时，它对半圆柱体的压力刚好等于其重力的一半，求m_A：m_B．

Answer 1

分析 先几何关系求出B到达C点时B上升的高度和A下降的高度．由牛顿第二定律求出B球到达C点时的速度，再由系统的机械能守恒求解．

解答 解：设半圆的圆心为O，半径为R，初始时∠COB=θ，由已知条件可得
  θ=$\frac{π}{3}$
设当B球到达C时速度为v，此时A球的高度下降了h_A，B球的高度上升
为h_B． 
由几何关系得：
  h_A=Rcosθ+$\frac{θ}{2}R$
  h_B=R（1-cosθ） 
由机械能守恒定律得：m_Agh_A-m_Bgh_B=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}$
B球在C点，有：m_Bg-$\frac{1}{2}$m_Bg=${m}_{B}\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得 m_A：m_B=（$\frac{1}{3}+\frac{2π}{9}$）：1
答：m_A：m_B为（$\frac{1}{3}+\frac{2π}{9}$）：1．

点评 解决本题的关键知道单个物体由于有拉力做功，机械能不守恒，对于系统而言，只有重力做功，机械能守恒．