Question

【题目】(2015新课标全国Ⅱ，25)下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ＝37°(sin 37°＝)的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A(含有大量泥土)，A和B均处于静止状态，如图所示．假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m(可视为质量不变的滑块)，在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ1减小为，B、C间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第2 s末，B的上表面突然变为光滑，μ2保持不变．已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l＝27 m，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取重力加速度大小g＝10 m/s2.求：

(1)在0～2 s时间内A和B加速度的大小；

(2)A在B上总的运动时间．

Answer 1

【答案】(1)3 m/s2 1 m/s2 (2)4 s

【解析】(1)在0～2 s时间内，A和B的受力如图所示，其中Ff1、FN1是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，Ff2、FN2是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示．由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得

Ff1＝μ1FN1 ①

FN1＝mgcos θ ②

Ff2＝μ2FN2 ③

FN2＝FN1＋mgcos θ ④

规定沿斜面向下为正.设A和B的加速度分别为a1和a2，由牛顿第二定律得

mgsin θ－Ff1＝ma1 ⑤

mgsin θ－Ff2＋Ff1＝ma2 ⑥

联立①②③④⑤⑥式，并代入题给条件得

a1＝3 m/s2 ⑦

a2＝1 m/s2 ⑧

(2)在t1＝2 s时，设A和B的速度分别为v1和v2，则

v1＝a1t1＝6 m/s ⑨

v2＝a2t1＝2 m/s ⑩

2 s后，设A和B的加速度分别为a1′和a2′.此时A与B之间摩擦力为零，同理可得

a1′＝6 m/s2

a2′＝－2 m/s2

由于a2′＜0，可知B做减速运动．设经过时间t2，B的速度减为零，则有

v2＋a2′t2＝0

联立⑩式得t2＝1 s

在t1＋t2时间内，A相对于B运动的距离为

x＝－＝12 m＜27 m

此后B静止不动，A继续在B上滑动．设再经过时间t3后A离开B，则有

l－x＝(v1＋a1′t2)t3＋a1′t

可得t3＝1 s(另一解不合题意，舍去)

设A在B上总的运动时间t总，有

t总＝t1＋t2＋t3＝4 s