Question

19．如图所示，在水平地面上有一倾角为θ的光滑固定斜面，在斜面底端的正上方高度为h处平抛一小球，同时在斜面底端一物块B以某一初速度沿斜面上滑，当其滑到最高点时恰好与小球A相遇，小球A和物块B均视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）

• A． 物块B沿斜面上滑的最大高度为$\frac{si{n}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}$h
• B． 小球A在空中运动的时间为$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
• C． 小球A水平抛出时的初速度为sinθcosθ$\sqrt{\frac{gh}{2（1+si{n}^{2}θ）}}$
• D． 物块B沿斜面上滑的初速度为$\sqrt{\frac{si{n}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}2gh}$

Answer 1

分析 物块沿斜面向上做匀减速运动，根据牛顿第二定律求出B上滑的加速度，通过运动学公式求出上滑的时间和位移，从而得出A平抛运动的水平位移，结合时间求出B的初速度．根据平抛运动的规律求A的初速度．

解答 解：AD、根据牛顿第二定律得，B上滑的加速度为：
a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ
B上滑的最大位移为：
x=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2a}$=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2gsinθ}$
运动时间为：
t_B=$\frac{{v}_{B}}{a}$=$\frac{{v}_{B}}{gsinθ}$
对于A球，有：
h-xsinθ=$\frac{1}{2}$gt_A²，
因为 t_A=t_B，所以联立得：
h-$\frac{{v}_{B}^{2}}{2gsinθ}$•sinθ=$\frac{1}{2}$g（$\frac{{v}_{B}}{gsinθ}$）²．
解得B沿斜面上滑的初速度为：
v_B=$\sqrt{\frac{si{n}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}2gh}$
物块B沿斜面上滑的高度为：
H=xsinθ=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2gsinθ}$•sinθ=$\frac{si{n}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}$h，故AD正确．
B、小球A在空中运动的时间为：t_A=$\sqrt{\frac{2（h-xsinθ）}{g}}$＜$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，故B错误．
C、由上得：t_A=$\frac{{v}_{B}}{gsinθ}$，小球A水平抛出时的初速度为：v₀=$\frac{xcosθ}{{t}_{A}}$
结合 t_A=$\frac{{v}_{B}}{gsinθ}$，v_B=$\sqrt{\frac{si{n}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}2gh}$
联立解得 v₀=sinθcosθ$\sqrt{\frac{gh}{2（1+si{n}^{2}θ）}}$．故C正确．
故选：ACD

点评 解决本题的关键是要抓住A与B运动的时间相等，水平位移相等，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．