Question

【题目】简谐运动是我们研究过的一种典型运动方式．

（1）一个质点做机械振动，如果它的回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，而且方向与位移方向相反，就能判定它是简谐运动．如图1所示，将两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间接一质量为m的小球，此时两弹簧均处于原长．现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置往复运动．请你据此证明，小球所做的运动是简谐运动．
（2）以上我们是以回复力与偏离平衡位置的位移关系来判断一个运动是否为简谐运动．但其实简谐运动也具有一些其他特征，如简谐运动质点的运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系就都可以表示为v2=v02﹣ax2 ， 其中v0为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，a为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数．请你证明，图2中小球的运动也满足上述关系，并说明其关系式中的a与哪些物理量有关．已知弹簧的弹性势能可以表达为 ，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量．
（3）一质点沿顺时针方向以速度v0做半径为R的匀速圆周运动，如图所示．请结合第（2）问中的信息，分析论证小球在x方向上的分运动是否符合简谐运动这一特征．

Answer 1

【答案】
（1）证明：若小球向右偏离的位移为x，选取向右为正方向，由胡克定律可得，小球受到的合外力：F合=﹣（k1+k2）x

由于k1和k2都是常数，所以小球受到的合外力与位移成正比，小球做简谐振动

（2）证明：小球运动的过程中的机械能包括小球的动能与弹簧的弹性势能，小球运动的过程中系统的机械能守恒，设小球偏离O点的最大位移为A，则通过平衡位置时：

若小球向右偏离的位移为x时的速度为v，则：

即： =

可知其中a等于两个弹簧的劲度系数的和，初速度的大小与开始时的振幅有关

（3）证明：当质点水平方向的位移为x时，质点速度与x轴之间的夹角设为θ，将质点的速度沿x轴方向与y轴方向分解如图，则：

vy=v0cosθ

而：

根据合速度与分速度的关系可知：

整理可得： =

可知小球在x方向上的分运动符合简谐运动这一特征．

证毕

【解析】（1）根据胡克定律即可写出出小球偏离平衡位置的位移大小为x时合外力F合的表达式；（2）根据小球做简谐运动时的机械能守恒即可写出；（3）将质点的运动沿坐标轴的x方向与y方向分解，结合速度的分解关系即可证明．