Question

3．如图所示，小物块位于半径为R=1m的光滑半球顶端，若将小物块无初速释放．求：
（1）说明物块的运动情况；
（2）小物块与球面分离时，其与球心连线和竖直方向的夹角；
（3）物块落地时水平位移s=？

Answer 1

分析 （1）物块先在半球上做圆周运动，离开半球后做斜下抛运动．
（2）小物块与球面分离时，半球对小物块支持力为零，由重力的法向分力提供向心力，根据向心力公式和机械能守恒定律结合求解．
（3）运用运动的分解法研究物块落地时水平位移s．

解答 解：（1）物块先在半球上做变速圆周运动，离开半球后做斜下抛运动．
（2）设小物块与球面分离时，其与球心连线和竖直方向的夹角为θ．小物块与球面分离时，半球对小物块支持力为零，由重力的法向分力提供向心力，则有：
mgcosθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由机械能守恒定律得：
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得：cosθ=$\frac{2}{3}$，θ=arccos$\frac{2}{3}$
且 v=$\sqrt{\frac{10}{3}}$m/s
（3）物块离开半球后，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，则有：
s=vcosθt
Rcosθ=vsinθt+$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得：s=$\frac{2\sqrt{15}+2\sqrt{51}}{27}$m
答：（1）物块先在半球上做变速圆周运动，离开半球后做斜下抛运动；
（2）小物块与球面分离时，其与球心连线和竖直方向的夹角是arccos$\frac{2}{3}$；
（3）物块落地时水平位移s是$\frac{2\sqrt{15}+2\sqrt{51}}{27}$m．

点评 解决本题的关键要明确物块刚离开半球时，由重力的法向分力提供向心力．对抛体运动，常常运用运动的分解法研究．