Question

如图甲，直角坐标系xOy在竖直平面内，x轴上方（含x轴）区域有垂直坐标系xOy向里的匀强磁场，磁感应强度B₀=T；在x轴下方区域有正交的匀强电场和磁场，场强E随时间t的变化关系如图乙，竖直向上为电场强度正方向，磁感应强度B随时间t的变化关系如图丙，垂直xOy平面为磁场的正方向。光滑的绝缘斜面在第二象限，底端与坐标原点O重合，与负x轴方向夹角θ=30°。一质量m=1×10^-5kg、电荷量q=1×10^-4C的带正电的粒子从斜面上A点由静止释放，运动到坐标原点时恰好对斜面压力为零，以此时为计时起点。求：

   （1）释放点A到坐标原点的距离L；

   （2）带电粒子在t=2.0s时的位置坐标；

   （3）在垂直于x轴的方向上放置一俘获屏，要使带电粒子垂直打在屏上被俘获，屏所在位置的横坐标应满足什么条件？

Answer 1

解：

（1）设带电粒子在斜面上运动的加速度为a，在坐标原点速度为v，则

mgsinθ=ma                 ………（1分） 

qvB=mgcosθ                ………（1分）

v²=2aL                     ………（1分）

解得 v =1m/s，L=0.1m       ………（1分）

（2）在0—1s，由乙图知E₁=1N/C，由丙图知，由于有qE₁ = mg，且带电粒子垂直磁场方向进入磁场，所以带电粒子做匀速圆周运动，设其轨道半径为r₁，运动周期为T₁，则

     ………（1分）                   ………（1分）

解得 m，T₁=12 s

在0—1s，设带电粒子做圆周运动转过圆心角为θ₁，则θ₁=30°     ………（1分）

在1—2s，由乙图知E₂=1N/C，由丙图知T，由于有qE₂= mg，且带电粒子运动方向垂直磁场，所以带电粒子做匀速圆周运动，设其轨道半径为r₂，运动周期为T₂，则

     ………（1分）                  ………（1分）

解得 m，T₂=4 s

在1—2s，设带电粒子做圆周运动转过圆心角为θ₂，则θ₂=90°     ………（1分）

在0—2s内带电粒子运动轨迹如图，设t=2s时，粒子所在位置坐标为（x₀，y₀），则

            ………（1分）

    ………（1分）

所以，t=2s时，粒子所在位置坐标为

（，）  ………（1分）

（3）在2—3s内，由乙图知E₃=1.2N/C，由丙图知B₃=0，由于有qE₃>mg ，带电粒子运动方向沿负y轴即竖直向下，所以先向下做匀减速直线运动，设减速运动的加速度大小为a，减速到零经过的时间为t₀，则

qE₃－mg = ma              ………（1分）

v=at₀                      ………（1分）

解得 t₀=0.5 s

然后粒子向上加速运动0.5s，回到2s末的位置，速度大小也与2s末时相同，方向竖直向上。                        ………（1分）

在3—5s内，由乙图知E₄=1N/C，由丙图知T，做半个圆周运动，运动方向竖直向下；在5—6s内，重复2—3s内的运动；在6—8s内，重复3—5s内的运动。

以后循环，运动轨迹如图所示。                  ………（1分）

设俘获器放置的位置横坐标为x，则

      （n=0，1，2，3......）   ………（1分）

即           （n=0，1，2，3......）   ………（1分）