Question

10．如图所示，一质量为m、长为L的木板A静止在光滑水平面上，其左侧固定一劲度系数为k的水平轻质弹簧，弹簧原长为l₀，右侧用一不可伸长的轻质细绳连接于竖直墙上．现使一可视为质点小物块B以初速度v₀从木板的右端无摩擦地向左滑动，而后压缩弹簧．设B的质量为λm，当λ=1时细绳恰好被拉断．已知弹簧弹性势能的表达式E_p=$\frac{1}{2}$kx²，其中k为劲度系数，x为弹簧的压缩量．求：
（1）细绳所能承受的最大拉力的大小F_m
（2）当λ=1时，小物块B滑离木板A时木板运动位移的大小s_A
（3）当λ=2时，求细绳被拉断后长木板的最大加速度a_m的大小
（4）为保证小物块在运动过程中速度方向不发生变化，λ应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）细绳恰好被拉断时，B的速度为0，细绳拉力最大，根据胡克定律及能量关系求解；
（2）细绳拉断后小物块和长木板组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律结合小物块滑离木板时木板二者的位移关系列式求解；
（3）当λ=2时设细绳被拉断瞬间小物块速度大小为v₁，根据能量守恒定律列式，细绳拉断后，小物块和长木板之间通过弹簧的弹力发生相互作用，当弹簧被压缩至最短时，长木板的加速度最大，此时小物块和长木板的速度相同，设其大小为v，弹簧压缩量为x，则由动量守恒和能量守恒列式，联立方程即可求解；
（4）由题意，λ＜1时，细绳不会被拉断，木板保持静止，小物块向左运动压缩弹簧后必将反向运动．λ＞1时，小物块向左运动将弹簧压缩x₀后细绳被拉断，设此时小物块速度大小为u₁
由能量关系列式，此后在弹簧弹力作用下小物块做减速运动．设弹簧恢复原长时小物块速度恰减小为零，根据动量守恒列式，联立方程即可求解．

解答 解：（1）细绳恰好被拉断时，B的速度为0，细绳拉力为F_m，设此时弹簧的压缩量为x₀，则有：kx₀=F_m
由能量关系，有：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}kx_0^2$
解得：${F_m}={v_0}\sqrt{mk}$
（2）细绳拉断后小物块和长木板组成的系统动量守恒，有：0=mv_A-mv_B
则小物块滑离木板时木板二者的位移关系为：S_A=S_B
又S_A+S_B=L-l₀+x₀
解得：${s_A}=\frac{1}{2}（L-{l_0}+{v_0}\sqrt{\frac{m}{k}}）$
（3）当λ=2时设细绳被拉断瞬间小物块速度大小为v₁，则有：$\frac{1}{2}（2m）v_0^2=\frac{1}{2}（2m）v_1^2+\frac{1}{2}kx_0^2$
细绳拉断后，小物块和长木板之间通过弹簧的弹力发生相互作用，当弹簧被压缩至最短时，长木板的加速度最大，此时小物块和长木板的速度相同，设其大小为v，弹簧压缩量为x，则由动量守恒和能量守恒有：（2m）v₁=（2m+m）v
$\frac{1}{2}（2m）v_0^2=\frac{1}{2}（2m+m）{v^2}+\frac{1}{2}k{x^2}$
对长木板，有：kx=ma_m
解得：${a_m}=\frac{{2{v_0}}}{3}\sqrt{\frac{3k}{m}}$
（4）由题意，λ＜1时，细绳不会被拉断，木板保持静止，小物块向左运动压缩弹簧后必将反向运动．λ＞1时，小物块向左运动将弹簧压缩x₀后细绳被拉断，设此时小物块速度大小为u₁
由能量关系，有：$\frac{1}{2}（λm）v_0^2=\frac{1}{2}（λm）u_1^2+\frac{1}{2}kx_0^2$
此后在弹簧弹力作用下小物块做减速运动．设弹簧恢复原长时小物块速度恰减小为零，此时木板的速度为u₂，则有：（λm）u₁=0+mu₂
$\frac{1}{2}（λm）u_1^2+\frac{1}{2}kx_0^2=\frac{1}{2}mu_2^2$
解得：λ=2
所以为保证小物块在运动过程中速度方向不发生变化，λ应满足的条件为：λ≥2．
答：（1）细绳所能承受的最大拉力的大小为${v}_{0}\sqrt{mk}$；
（2）当λ=1时，小物块B滑离木板A时木板运动位移的大小为$\frac{1}{2}（L-{l}_{0}+{v}_{0}\sqrt{\frac{m}{k}}）$；
（3）当λ=2时，求细绳被拉断后长木板的最大加速度a_m的大小为$\frac{2{v}_{0}}{3}\sqrt{\frac{3k}{m}}$；
（4）为保证小物块在运动过程中速度方向不发生变化，λ应满足的条件为λ≥2．

点评 本题关键要分析清楚滑块和滑板的运动情况，能结合能量守恒定律和动量守恒定律多次列式后联立分析，难度较大．