Question

如图所示，水平虚线X下方区域分布着方向水平、垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，整个空间存在匀强电场（图中未画出）。质量为m，电荷量为+q的小球P静止于虚线X上方A点，在某一瞬间受到方向竖直向下、大小为I的冲量作用而做匀速直线运动。在A点右下方的磁场中有定点O，长为l的绝缘轻绳一端固定于O点，另一端连接不带电的质量同为m的小球Q，自然下垂。保持轻绳伸直，向右拉起Q，直到绳与竖直方向有一小于5⁰的夹角，在P开始运动的同时自由释放Q，Q到达O点正下方W点时速率为v₀。P、Q两小球在W点发生正碰，碰后电场、磁场消失，两小球粘在一起运动。P、Q两小球均视为质点，P小球的电荷量保持不变，绳不可伸长，不计空气阻力，重力加速度为g。

 (1)求匀强电场场强E的大小和P进入磁场时的速率v；

 (2)若绳能承受的最大拉力为F，要使绳不断，F至少为多大？

 (3)求A点距虚线X的距离s。

Answer 1

解：

(1)设小球P所受电场力为F₁，则F₁=qE         ①

在整个空间重力和电场力平衡，有F_l=mg              ②

联立相关方程得   E=mg/q                               ③

设小球P受到冲量后获得速度为v，由动量定理得I=mv      ④

得   v=I/m                                                                           ⑤

说明：①②③④⑤式各1分。

(2)设P、Q同向相碰后在W点的最大速度为v_m，由动量守恒定律得

mv+mv₀=(m+m)v_m                                                                                                                       ⑥

此刻轻绳的张力也为最大，由牛顿运动定律得F-(m+m)g=v_m²                                       ⑦

联立相关方程，得       F=()²+2mg                   ⑧

说明：⑥⑦式各2分，⑧式1分。

(3)设P在肖上方做匀速直线运动的时间为h，则    t_P1=            ⑨

  设P在X下方做匀速圆周运动的时间为t_P2，则

  t_P2=                 ⑩

  设小球Q从开始运动到与P球反向相碰的运动时间为t_Q，由单摆周期性，有

                      11

由题意，有    t_Q=t_P1+ t_P2    12

  联立相关方程，得

           n为大于的整数       13

设小球Q从开始运动到与P球同向相碰的运动时间为t_Q^´,由单摆周期性，有

              14

  同理可得

          n为大于的整数              15

  说明：⑨11 12 14式各1分，⑩     13    15式各2分。