Question

牛顿在1684年提出这样一些理论：当被水平抛出物体的速度达到一定数值v₁时，它会沿着一个圆形轨道围绕地球飞行而不落地，这个速度称为环绕速度；当抛射的速度增大到另一个临界值v₂时，物体的运动轨道将成为抛物线，它将飞离地球的引力范围，这里的v₂我们称其为逃离速度，对地球来讲逃离速度为11.2km/s．
法国数学家兼天文学家拉普拉斯于1796年曾预言：“一个密度如地球而直径约为太阳250倍的发光恒星，由于其引力作用，将不允许任何物体（包括光）离开它．由于这个原因，宇宙中有些天体将不会被我们看见．”这种奇怪的天体也就是爱因斯坦在广义相对论中预言的“黑洞（black hole）”．
已知对任何密度均匀的球形天体，v₂恒为v₁的

2

倍，万有引力恒量为G，地球的半径约为6400km，太阳半径为地球半径的109倍，光速c=3.0×10⁸m/s．请根据牛顿理论求：
（1）求质量为M、半径为R的星体逃离速度v₂的大小；
（2）如果有一黑洞，其质量为地球的10倍，则其半径应为多少？
（3）若宇宙中一颗发光恒星，直径为太阳的248倍，密度和地球相同，试通过计算分析，该恒星能否被我们看见．

Answer 1

分析：（1）当物体绕星球表面附近做匀速圆周运动时，由星球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求出v₁．星体逃离速度v₂的大小等于

2

v₁．
（2）根据黑洞与地球的质量关系，得到黑洞的逃离速度表达式，在黑洞表面脱离的速度应大于光速．即可求出黑洞的半径．
（3）根据直径与密度关系，求出恒星的逃离速度，若此速度大于光速，我们将看不见该恒星．

解答：解：（1）由

GMm

R2

=m

v 2 1

R

，得v₁=

GM R

  由题得：星体逃离速度v₂=

2

v₁=

2GM R

（2）题中M_黑洞=10M_地球
地球和黑洞的脱离速度分别为：
  对地球：v_2地球=

2GM地球 R地球

；
  对黑洞：v_2黑洞=

2GM黑洞 R黑洞

＞c（c为光速）
两式相比得：

M黑洞R地球 M地球R黑洞

=

10R地球 10R黑洞

=

v2黑洞

v2地球

≥

c

v2地球

得  R_黑洞≤

10R地球 v 2 2地球

c2

=

10×6400×103×(11.2×103)2

(3×108)2

m=0.089m
（3）已知R_恒星=248×109 R_地球，M_恒星=（248×109）³M_地球（密度相同）
v_2恒星=11.2×10³×248×109 m/s=3.028×10⁸ m/s＞c，所以该恒星不能被我们看见．         
答：
（1）质量为M、半径为R的星体逃离速度v₂的大小为

2GM R

；
（2）如果有一黑洞，其质量为地球的10倍，则其半径应为0.089m．
（3）若宇宙中一颗发光恒星，直径为太阳的248倍，密度和地球相同，通过计算分析可知，该恒星不能被我们看见．

点评：本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．