Question

如图所示，在水平桌面上放有长木板C，C上右端是固定挡板P，在C上左端和中点处各放有小物块A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不计，A、B之间和B、P之间的距离皆为L．设木板C与桌面之间无摩擦，A、C之间和B、C之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为μ；A、B、C（连同挡板P）的质量相同．开始时，B和C静止，A以某一初速度向右运动．试问下列情况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块A的初速度v₀应满足的条件，或定量说明不能发生的理由．
（1）物块A与B发生碰撞；
（2）物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞，碰后交换速度）后，物块B与挡板P发生碰撞；
（3）物块B与挡板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在木板C上再发生碰撞？

Answer 1

分析：开始过程是A与C相互作用，此时可假设B与C相对静止，再通过计算假设正确，再根据动量守恒定律求出速度，再结合能量守恒定律求出它们发生的位移，从而找出与B发生碰撞的条件，其它情况的求法类似．

解答：解：（1）以m表示物块A、B和木板C的质量，当物块A以初速度v₀向右运动时，A将受到木板施加的向左的大小为μmg的滑动摩擦力而减速，即B、C之间无相对运动，木板C则受到物块A施加的大小为μmg的滑动摩擦力和物块B一起做加速运动，设A、B、C三者的加速度分别为a₁a₂，则由牛顿第二定律，
有μmg=ma₁，μmg=2ma₂．
若物块A刚好与物块B不发生碰撞，则物块A运动到物块B所在处时，A与B的速度大小相等．因物块B与木板C速度相等，所以此时三者速度均相同，设为v₁，
由动量守恒定律得mv₀=3m?v₁，
在此过程中，设木板C运动的路程为s₁，则物块A的路程为s₂=s₁+L，如图所示，

由动能定理得
对A有

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

=-μmgs2      
对C与B有

1

2

?2m

v

2 1

=μmgs1             
联立以上各式，解得：v0=

3mgL

A与B发生碰撞，故A与B发生碰撞的条件是v0＞

3mgL

       ①．
（2）当物块A的初速度v₀满足①式时，A与B将发生碰撞，设碰撞的瞬间，A、B、C三者的速度分别为v_A、v_B、v_C，则有v_A＞v_B=v_C      
在物块A、B发生碰撞的极短时间内，木板C对它们的摩擦力的冲量非常小，可忽略不计．故在碰撞过程中，A与B构成的系统动量守恒，而木板C的速度保持不变，因为物块A、B间的碰撞是弹性的，系统的机械能守恒，又因为质量相等，由动量守恒和机械能守恒可以证明（证明从略），碰撞前后A、B交换速度，若碰撞刚结束时，物块A与木板C速度相等，保持相对静止，B相对AC向右运动，以后发生的过程相当于第1问中所进行的延续，由物块B代替A继续向右运动．
若物块B刚好与挡板P不发生碰撞，则物块B以速v_B′=v_A从C板的中点运动到挡板P所在处时与C的速度相等．A与C的速度大小是相等的，A、B、C三者的速度相等，设此时三者的速度v₂，根据动量守恒定律有mv₀=3mv₂
A以初速度v₀开始运动，接着与B发生完全弹性碰撞，碰撞后物块A相对木板C静止，B到达P所在处这一整个过程中，先是A相对C运动的路程为L，接着是B相对C运动的路程为L，整个系统动能的改变，等于系统内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和，即

1

2

(3m)

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

=-mg?2L
解以上两个公式得   v0=

6μgL

即物块A的初速度 v0=

6μgL

时，A与B碰撞，但B与P刚好不发生碰撞，
若使 v0＞

6μgL

，就能使B与P发生碰撞，故A与B碰撞后，物块B与挡板P发生碰撞的条件是v0＞

6μgL

                   
即物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与挡板P发生碰撞的条件是v0＞

6μgL

     ②
（3）若物块A的初速度v₀满足条件②式，则在A、B发生碰撞后，B将与挡板P发生碰撞，设在碰撞前瞬间，A、B、C三者的速度分别为v_B″、v_A″、v_C″，
则有v_B″＞v_A″=v_C″
B与P碰撞的过程中，同（2）的分析，B与C交换速度，在以后的运动过程中，木板C以较大的加速度向右做减速运动，而物块A和B以相同的较小的加速度向右做加速运动，加速度的大小分别为a_A=a_B=μg，ma_C=2μmg       
加速过程将持续到或者A和B与C的速度相同，三者以相同速度

1

3

v0向右做匀速运动，或者木块A从木板C上掉了下来．由于A与B的初速度和加速度均相等，因此物块B与A在木板C上不可能再发生碰撞．
即物块B与挡板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在木板C上不可能再发生碰撞．     
答：（1）物块A与B发生碰撞的条件是v0＞

3mgL

；
（2）物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞，碰后交换速度）后，物块B与挡板P发生碰撞v0＞

6μgL

；
（3）物块B与挡板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在木板C上不可能再发生碰撞．

点评：解物理题的关键是对物理过程的分析，灵活运用假设思想寻找物理模型，然后根据不同过程选用相应的规律求解．