Question

8．如图所示是一列沿x轴方向传播的机械波图象，实线是t₁=0时刻的波形，虚线是t₂=1s时刻的波形．
①求该列波的周期和波速．
②若波速为9m/s，其传播方向如何？从t₁时刻起质点P运动到波谷的最短时间是多少？

Answer 1

分析 ①由图读出波长．由于波的传播方向未知，要分沿x轴正方向和沿x轴负方向两种情况研究：若波沿x轴正方向传播，在△t=t₂-t₁=1s内传播的最短距离为$\frac{1}{4}$λ，传播距离表达式为x=（n+$\frac{1}{4}$）λ．若波沿x轴负方向传播，传播的最短距离为$\frac{3}{4}$λ，传播距离表达式为x=（n+$\frac{3}{4}$）λ，从而得到时间与周期的表达式，求出周期的通项，由v=$\frac{λ}{T}$求出波速的通项．
②若波速为9m/s，由x=vt求出波传播的距离，由波形的平移法分析波的传播方向．根据t=0时刻P质点的运动方向，求解质点P运动到波谷的最短时间．

解答 解：①由图象知，波长 λ=4m
若波沿x轴正方向传播，在△t=t₂-t₁=1s内传播距离表达式为：x=（n+$\frac{1}{4}$）λ，（n=0，1，2，3，…）
则有：△t=（n+$\frac{1}{4}$）T，T=$\frac{4△t}{4n+1}$=$\frac{4}{4n+1}$s，（n=0，1，2，3，…）
波速为：v=$\frac{λ}{T}$=（4n+1）m/s，（n=0，1，2，3，…）
若波沿x轴负方向传播，在△t=t₂-t₁=1s内传播距离表达式为：x=（n+$\frac{3}{4}$）λ，（n=0，1，2，3，…）
则有：△t=（n+$\frac{3}{4}$）T，T=$\frac{4△t}{4n+3}$=$\frac{4}{4n+3}$s，（n=0，1，2，3，…）
波速为 v=$\frac{λ}{T}$=（4n+3）m/s，（n=0，1，2，3，…）
②若波速为9m/s，在△t=1s内传播距离为：x=v△t=9m=$\frac{9}{4}λ$=2$\frac{1}{4}$λ
由波形平移法可知，波沿x轴正方向传播．t=0时刻质点P沿y轴正方向振动，由v=$\frac{λ}{T}$=（4n+1）m/s知，n=2，T=$\frac{4}{9}$s
质点P最短经过时间 t=$\frac{3}{4}$T=$\frac{1}{3}$s振动到波谷位置．
答：①若波沿x轴正方向传播，该列波的周期为$\frac{4}{4n+1}$s，（n=0，1，2，3，…），波速为 v=（4n+1）m/s，（n=0，1，2，3，…）．
若波沿x轴负方向传播，周期为$\frac{4}{4n+3}$s，（n=0，1，2，3，…），波速为 v=（4n+3）m/s，（n=0，1，2，3，…）．
②若波速为9m/s，波沿x轴正方向传播．从t₁时刻起质点P运动到波谷的最短时间是$\frac{1}{3}$s．

点评 本题关键要理解波的周期性，即每隔一个周期时间，波的图象重复，得到波传播的时间与距离的通项，再求解特殊值，是典型的多解问题，不能漏解．