Question

如图甲所示，斜面与水平面间的夹角θ可以随意改变，可视为质点的小物块从斜面的底端以大小恒定的初速率v₀沿斜面向上运动，所能上升的最大距离记为s．今改变θ而使s随之改变，根据所测量的若干组数据可以描述出“s-θ”曲线如图乙所示．若斜面足够长，取g=10m/s²，试根据“s-θ”曲线和相关的物理规律，分析求解：
（1）从图中读出θ=

π

2

时物体运动的最大距离，并分析θ=

π

2

时物体的运动；
（2）小物块的初速率v₀；
（3）小物块与斜面间的动摩擦因数?；
（4）对应“s-θ”曲线上s取最小值的P点的坐标值（θ₀，s_min）

Answer 1

分析：（1）由图象可求出θ=

π

2

时，物体的运动最大距离，然后分析物体的运动情况；
（2）根据θ=

π

2

时物体的最大位移，应用匀变速运动的速度位移公式求出物体的初速度；
（3）由图象可知，当θ₂=0时，x₂=10m，当木板水平时，由动能定理得列出等式求解小木块与木板间的动摩擦系数．
（4）当木板与水平方向夹角为θ时，木块沿木板上滑的距离为x，由动能定理列出等式求解．

解答：解：（1）由图象可知，当θ₁=

π

2

时，x₁=5m，此时物体做竖直上抛运动；
（2）当θ₁=

π

2

时，x₁=5m，物体做竖直上抛运动，
由速度位移公式公式可得：v₀²-0=2gx₁，v₀=

2gx1

=

2×10×5

=10m/s；
（3）由图象可知，当θ₂=0时，x₂=5

3

m，此时木板水平，
由动能定理得：-μmgx₂=0-

1

2

mv₀²，解得：μ=

3

3

；
（4）当板与水平方向夹角为θ时，沿斜面上滑的距离为s，由动能定理得：-mgssinθ-μmgscosθ=0-

1

2

mv₀²，
即s=

v 2 0

2g(sinθ+μcosθ)

，
令a=sinθ+μcosθ=

1+μ2

（

1

1+μ2

sinθ-

μ

1+μ2

cosθ），
设cosα=

1

1+μ2

，则a=

1+μ2

sin（α+θ），α+θ=

π

2

时，
a存在最大值，a_m=

1+( 3 3 )2

=

2 3

3

，sinθ₀=cosα=

1

1+μ2

=

1

1+( 3 3 )2

=

3

2

，
θ₀=arsin

3

2

，对应s的最小值为s_min=

v 2 0

2gam

=

102

2×10× 2 3 3

=

5 3

2

m；
P点的坐标值（arsin

3

2

，

5 3

2

）．
答：（1）从图中读出θ=

π

2

时物体运动的最大距离为5m，θ=

π

2

时物体做竖直上抛运动；
（2）小物块的初速率为10m/s；
（3）小物块与斜面间的动摩擦因数为

3

3

；
（4）对应“s-θ”曲线上s取最小值的P点的坐标值（arsin

3

2

，

5 3

2

）．

点评：本题关键能够运用x-θ曲线的特殊值，选择物理规律解决问题．
了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，选取研究过程，运用动能定理解题．