Question

如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力．
（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v₀射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，求其电场强度．
（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？
（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用时间的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据电场力与洛伦兹力平衡，即可求解；
（2）根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，即可求解；
（3）由n取奇数与偶数两种情况下，结合圆心角，从而求出时间．

解答：解：（1）由电场力与洛伦兹力平衡得：qE=qv₀B
解得：E=v₀B   方向竖直向下 
（2）根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足：L=nx   
其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为

π

2

或

3π

2

．
设圆弧的半径为R，由几何得：2R²=x²，可得：R=

L

2 n

      
 又由qvB=

mv2

R

 
解得：v=

qBL

2 m?n

，（n=1、2、3、…）      
（3）当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为

θ1=n?

π

2

+n

3π

2

=2nπ，
t1=2nπ?

m

qB

=

2πm

qB

?n，（其中n=1、3、5、…）
当n=1时  tmin=

2πm

qB

当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为：
θ2=n?

π

2

+n

π

2

=nπ，
t2=nπ?

m

qB

=

πm

qB

?n，其中n=2、4、6、
当n=2时  tmin=

2πm

qB

综上，最短时间为tmin=

2πm

qB

答：（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v₀射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，其电场强度E=v₀B，方向竖直向下．
（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，初速度v应满足：v=

qBL

2 m?n

，（n=1、2、3、…）；
（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用时间的最小值为tmin=

2πm

qB

．

点评：考查受力平衡条件，掌握牛顿第二定律的应用，理解在磁场中运动时间除与圆心角有关外，还与n取奇偶性有关．