Question

15．如图1所示，一光滑杆固定在底座上，构成支架，放置在水平地面上，光滑杆沿竖直方向，一轻弹簧套在光滑杆上，弹簧的劲度系数为k．一套在杆上的圆环从弹簧上端某处由静止释放，接触弹簧后，将弹簧压缩，弹簧的形变始终在弹性限度内．重力加速度为g，不计空气阻力．取圆环刚接触弹簧时的位置为坐标原点O，取竖直向下为正方向，建立x轴．
（1）在圆环压缩弹簧的过程中，圆环的加速度为a，位移为x，在图2中定性画出a随x变化关系的图象；
（2）结合（1）中图象所围“面积”的物理意义，论证当圆环运动到最低点时的加速度大小大于重力加速度大小；
（3）我们知道，以圆环、地球、弹簧组成的系统，动能、弹性势能和重力势能的总和保持不变．如果把弹性势能和重力势能的和称为系统的势能，并规定圆环处在平衡位置（此处圆环重力与弹簧弹力相等）时系统的势能为零，请根据“功是能量转化的量度”，求圆环运动到平衡位置下方距平衡位置距离为d时系统的势能．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求得加速度a与圆环的位移x的关系式，再作出a-x图象．
（2）对照上题图象，求得图象与坐标轴所围面积，得到速度平方的变化量，得到最低点加速度与g的关系，再由牛顿第二定律证明即可．
（3）以圆环、地球、弹簧组成的系统，动能、弹性势能和重力势能的总和保持不变．由系统的机械能守恒列式求解．

解答 解：（1）由牛顿第二定律：mg-kx=ma
所以 a=g-$\frac{k}{m}$x
a与x关系图象如下图所示

（2）设最低点对应的加速度大小为a_x，加速度为零的点速度为v_m，物体与弹簧刚接触时加速度为v₀，由题意知a-x图象中面积的意义如下：

a轴正半轴对应面积大小为：
  S₁=$\frac{{v}_{m}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2}$
a轴负半轴对应面积大小为：
 S₂=$\frac{{v}_{m}^{2}-0}{2}$
因为S₁＞S₂，所以a_x＞g
（3）设在平衡位置时弹簧的压缩量为x₀
所以 kx₀=mg
 弹簧的弹力做功 W_弹=0-E_p弹
则E_p弹=-W_弹=$\frac{1}{2}$k（x+x₀）²-$\frac{1}{2}$kx₀²=$\frac{1}{2}$kx²+kx₀x
E_pG=-mgx
根据系统的机械能守恒有 E_p=E_p弹+E_pG=$\frac{1}{2}$kx²+kx₀x+（-mgx）=$\frac{1}{2}$kx²
所以圆环运动到距平衡位置为d的位置系统势能为：E_p=$\frac{1}{2}$kd²
答：（1）a-x图象如图．
（2）见上．
（3）圆环运动到平衡位置下方距平衡位置距离为d时系统的势能是$\frac{1}{2}$kd²．

点评 解决本题的关键要灵活运用牛顿第二定律得到a-x图象，知道图象面积的意义，也可以根据简谐运动的特点证明第2问．