Question

如图所示，两平行金属板的板长l=0.2m，两板间距离为d=0.2m，板间的电压u随时间t变化的关系为 u=141sin100πt（V），紧靠金属板右侧的虚线MN的右边是较大的匀强磁场区域，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子连续不断地以速度υ₀=10⁵m/s，沿中线OO’射入两板间．已知带电粒子的比荷=10⁸C/kg，粒子的重力和粒子间相互作用力均忽略不计．t=0时刻射入电场的带电粒子穿越电场进入磁场后，离开磁场时到O’的距离为s₀=0.2m．
（1）证明：能从两板间穿出的所有粒子，经边界线MN进入磁场和离开磁场时两位间的距离为s₀．
（2）求经过电场进入磁场的带电粒子在离开磁场时到O’点的最大距离．

Answer 1

分析：（1）根据洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律与几何关系，即可求解；
（2）因粒子经电场偏转，由类平抛运动规律，根据运动学公式与牛顿第二定律相结合，可求出偏转电压，从而确定离开磁场时到O′点的距离最大，再由几何关系，即可求解．

解答：解：（1）t=0时刻射入电场的带电粒子沿着直线穿越电场进入磁场，在磁场中轨迹为半圆
则有：qv₀B=m

v 2 0

R0

由几何关系，得 s₀=2R₀=

2mv0

qB

任意时刻进入磁场的粒子，进、出磁场位置间的距离为s，如图
s=2Rcosα=

2mvcosα

qB

=

2mv0

qB

=s₀=0.2m②
 所以任意时刻进入磁场的粒子，进、出磁场位置间的距离s相同．
（2）粒子穿出两板的时间t=

v

v0

=2×10^-6s ③
设粒子从板边缘射出：

d

2

=

1

2

at2④
a=

qE

m

=

qU

md

⑤
由③④⑤联立解得：U=

md2

qt2

=100V＜141V⑥
故有粒子从板边缘射出，且它离开磁场时到O′点的距离最大，
所以粒子在离开磁场时到O′点的最大距离s_m=

d

2

+s₀=0.3m 
答：经过电场进入磁场的带电粒子在离开磁场时到O’点的最大距离为0.3m．

点评：考查粒子在变化的电场中偏转，在磁场中做匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律与运动学公式的综合运用，注意几何关系的正确使用，特别对第二小问题：根据分析得出：粒子从板边缘射出，且它离开磁场时到O′点的距离最大，这是解题的关键之处．