Question

4．如图所示，水平固定轨道PM的左端P点与竖直粗糙半圆轨道平滑连接．一质量为m的滑块（可视为质点）从M点出发，向左冲上半圆轨道，并能恰好通过半圆轨道的最高点Q，已知半圆轨道的半径为R，M点和P点间的距离为2R，滑块与PM间的动摩擦因数μ=0.25，滑块通过P点时对半圆轨道的压力大小F=10mg（g为重力加速度大小），不计空气阻力，求：
（1）滑块在M点的速度大小v_M；
（2）滑块从P点运动到Q点的过程中，克服阻力所做的功W；
（3）滑块落回到水平固定轨道上的位置到P点的距离x．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第三定律求得滑块在P点受到的支持力，然后由牛顿第二定律求得速度，即可由动能定理求得在M点的速度；
（2）根据牛顿第二定律求得在Q的速度，然后由动能定理即可求得W；
（3）根据平抛运动规律直接求取水平位移x．

解答 解：（1）滑块通过P点时对半圆轨道的压力大小F=10mg，故由牛顿第三定律可得：滑块受到的支持力为10mg，那么，对滑块在P点应用牛顿第二定律可得：$10mg-mg=\frac{m{{v}_{P}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{P}=3\sqrt{gR}$；
滑块从M到P的运动过程，只有摩擦力做功，故由动能定理可得：$-2μmgR=\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$，所以，${v}_{M}=\sqrt{{{v}_{P}}^{2}+4μgR}=\sqrt{10gR}$；
（2）滑块能恰好通过半圆轨道的最高点Q，故对滑块在Q点应用牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{Q}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{Q}=\sqrt{gR}$；
滑块从P到Q的过程重力、阻力做功，故由动能定理可得：$-2mgR-W=\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}=-4mgR$，所以，W=2mgR；
（3）滑块从Q点做平抛运动落回水平固定轨道，故由平抛运动规律可得：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$x={v}_{Q}t=\sqrt{gR}•\sqrt{\frac{4R}{g}}=2R$；
答：（1）滑块在M点的速度大小v_M为$3\sqrt{gR}$；
（2）滑块从P点运动到Q点的过程中，克服阻力所做的功W为2mgR；
（3）滑块落回到水平固定轨道上的位置到P点的距离x为2R．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．