Question

11．如图所示，间距为L的两根平行长直金属导轨ab、cd与水平面的夹角为θ，导轨上端接有阻值为R的电阻．一根电阻为3R的均匀直导体棒MN垂直放在两导轨上．整个装置处于方向垂直斜面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，MN由静止释放后沿导轨运动，位移大小为s时开始以最大速度v_m做匀速运动．MN在运动过程中与导轨接触良好，导轨电阻及一切摩擦均不计，重力加速度大小为g．求：
（1）MN的质量m和MN在匀速运动过程中的热功率P；
（2）从MN由静止释放到开始匀速运动的过程中电阻R产生的热量Q；
（3）从MN由静止释放到开始匀速运动所经历的时间t．

Answer 1

分析 （1）对导体受力情况进行分析，由共点力的平衡条件可求得棒的质量；根据功率公式可求得热功率P；
（2）根据能量守恒定律可求得从MN由静止释放到开始匀速运动的过程中电阻R产生的热量Q；
（3）由牛顿第二定律采用微元法进行分析，则可求得所经历的时间．

解答 解：（1）MN受力如图所示；MN在匀速运动过程中受力平衡，有mgsinθ=BIL
MN切割磁感线产生的电动势E=BLv_m
由闭合电路欧姆定律可得：
E=I（R+3R）
联立解得：MN的质量m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{4Rgsinθ}$
MN在匀速运动过程中的热功率P=I²•3R；
解得：P=$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{16R}$；
（2）根据能量守恒定律有：
mgssinθ=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q_总
根据焦耳定律有：
$\frac{Q}{R}$=$\frac{{Q}_{总}}{R+3R}$
得Q=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{16Rgsinθ}$（sgsinθ-$\frac{1}{2}$v_m²）
（3）MN从静止开始，根据牛顿第二定律，有
mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4R}$=m$\frac{△v}{△t}$
两边同乘以△t，并求和有：
mgsinθ$\sum_{\;}^{\;}△t$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sum_{\;}^{\;}V△t}{4R}$=m∑△v
即mgsinθt-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}S}{4R}$=mvm
解得：t=$\frac{s}{{v}_{m}}$+$\frac{{v}_{m}}{gsinθ}$
答：（1）MN的质量m$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{4Rgsinθ}$；MN在匀速运动过程中的热功率P$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{16R}$；
（2）从MN由静止释放到开始匀速运动的过程中电阻R产生的热量Q为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{16Rgsinθ}$（sgsinθ-$\frac{1}{2}$v_m²）；
（3）从MN由静止释放到开始匀速运动所经历的时间t为$\frac{s}{{v}_{m}}$+$\frac{{v}_{m}}{gsinθ}$

点评 本题考查了判断电流方向、求电流大小、求加速度、求最大速度，应用右手定则、E=BLv、欧姆定律、安培力公式、牛顿第二定律、平衡条件即可正确解题．