Question

6．一组宇航员乘坐太空穿梭机，去修理位于离地球表面h=6.0×10⁵m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H．机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处．如图甲所示，设G为引力常数，而M_E为地球质量，（已知：地球半径为R=6.4×10⁶m）．
（1）在穿梭机内，一质量为70kg的宇航员站在台秤上时台秤的示数？
（2）列出穿梭机在轨道上的速率和周期表达式．（用题目中给出符号表示，不需进行数值计算．）
（3）①证明穿梭机的总机械能跟-$\frac{1}{r}$成正比，r为它的轨道半径．[注：若力F与位移r之间有如下的关系：F=K/r²（其中K为常数），则当r由∞处变为0，E=$\frac{k}{r}$（设∞处的势能为0）]．
②若图乙所示，穿梭机到达哈勃太空望远镜H所在轨道，会在Ⅰ轨道上无动力飞行．到达Ⅰ、Ⅱ轨道切点时由Ⅰ轨道变速到Ⅱ轨道．经数学证明①中的机械能表达式同样适用于椭圆轨道，“穿梭机的总机械能跟-$\frac{1}{a}$成正比，且比例系数相同，a为它的半长轴”，用上题的结果判穿梭机由Ⅰ轨道H点进入Ⅱ轨道H点时应增加还是减少其原有速率，并作出解释．

Answer 1

分析 （1）航天飞机（穿梭机）绕地球做圆周运动，处于完全失重状态；
（2）根据万有引力提供向心力求解；
（3）①穿梭机做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解速度，得到机械能的表达式；
②根据机械能表达式判断从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ机械能的变化情况即可．

解答 解：（1）穿梭机内的人处于完全失重状态，视重为零；
（2）地球对穿梭机的万有引力提供向心力：
$\frac{G{M}_{E}m}{（R+h）^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{（R+h）}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
故$v=\sqrt{\frac{G{M}_{E}}{R+h}}$
T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{M}_{E}}}$
（3）①因为万有引力$F=G\frac{{M}_{E}m}{{r}^{2}}$满足F=k（$\frac{1}{{r}^{2}}$）（其中k=GMm为常数）
由“注”可知，当穿梭机与地球之间的距离由∞处变为r时，万有引力对其做功：W=$\frac{k}{r}$=$\frac{GMm}{r}$
又因为万有引力对穿梭机做多少功，其重力势能减小多少；
若设∞处的势能为零，则穿梭机在半径为r的轨道上时，其重力势能为：E=-$\frac{GMm}{r}$
则穿梭机此时的总机械能${E}_{总}={E}_{r}+{E}_{k}=-\frac{GMm}{r}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由于$v=\sqrt{\frac{G{M}_{E}}{R+h}}$，故：${E}_{总}={E}_{r}+{E}_{k}=-\frac{G{M}_{E}m}{2r}$∝$\frac{1}{r}$
②由于E_总∝$\frac{1}{r}$，穿梭机在轨道Ⅰ上的机械能小于其在轨道Ⅱ上的机械能；
由于穿梭机在H点的势能相同，故在H点，穿梭机由轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要加速，即动能需要增加；
答：（1）在穿梭机内，一质量为70kg的宇航员站在台秤上时台秤的示数为零；
（2）穿梭机在轨道上的速率为$\sqrt{\frac{G{M}_{E}}{R+h}}$，周期表达式为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{M}_{E}}}$；
（3）①证明如上；
②穿梭机由Ⅰ轨道H点进入Ⅱ轨道H点时应增加其原有速率．

点评 本题关键是穿梭机的动力学原理和运动学规律，结合牛顿第二定律列式分析得到速度表达式，再根据题意得到机械能表达式进行分析即可．