Question

跳伞运动员从盘旋在空中高度为400m的直升飞机上跳下．理论研究表明：当降落伞全部打开时，伞所受的空气阻力大小跟伞下落的速度大小的平方成正比，即f＝kv²，已知比例系数k＝20N·s²/m²，跳伞运动员的总质量为72kg．试讨论下列两种情况下，跳伞运动员在下落过程中的运动情况．

(1)在风速为零时；

(2)当风速为水平方向，且大小为4m/s的情况时．

Answer 1

答案：
解析：

(1)为使研究问题简化，我们先假设跳伞运动员一离开直升飞机随即打开降落个．这时跳伞运动员将作初速为零的加速运动，伞与运动员(以下称系统)共受到两个力的作用：竖直向下的重力和竖直向上的空气阻力，受力如下图所示．由于系统的速度逐渐增大，所以系统受到的阻力也随之增大；由mg－f＝ma得，系统的加速度将逐渐减小．因为加速度的方向与系统的运动方向是一致的，所以系统的下降速度不断增大，即系统竖直向下作加速度逐渐减小的加速运动． 　　由此，我们可以推断：只要起跳高度足够，必有空气阻力逐渐增大至f＝mg，至此，系统速度不再增大，即跳伞运动员的速度存在一个最大值vmax，我们称之为收尾速度．故系统最终必定以收尾速度向下作匀速运动．对以上分析过程，我们可用下列推理形式表达： 　　　　  　　终态：a＝0，v＝vmax． 对系统的运动过程，我们还可以用v－t图像形象直观地表示出来，如下图所示， 　　由以上分析可得 　　　　   ＝mg， 解得　　 vmax＝m/s＝6m/s 这一收尾速度，相当于作自由落体运动的下落高度为　 　　    　 h0＝＝1.8m 　　所以，跳伞运动员着落时是不会有任何损伤的． 　　但请读者注意到我们事先所作的假设：“跳伞运动员一离开直升飞机随即打开降落伞”，这显然不符合实际，也不可能．事实上，跳伞运动员总是先自由下落一定的高度后再打开降落伞．那么，这是否会影响到“系统最终以收尾速度向下作匀速运动”这一结论呢？为此我们可进一步讨论如下： 　　实际跳伞时，跳伞运动员自由下落的高度肯定h＞h0＝1.8m，即当他打开降落伞，已经具有初速度 　　　　  v0＞vmax＝6m/s， 所受阻力f＞mg，所以，系统的速度将减小，系统受到的阻力亦将减小；由f－mg＝ma得，系统的加速度亦将逐渐减小．由于这时加速度的方向与系统的运动方向相反，所以系统的速度不断减小，即系统竖直向下作加速度逐渐减小的减速运动；直至空气阻力逐渐减小至f＝mg，至此，系统速度不再减小，即跳伞运动员的速度存在一个最小值vmin＝6m/s，故系统最终仍以收尾速度向下作匀速运动．对实际运动过程的分析，我们可用下列推理形式表达；其v－t图像如下图甲所示． 　　初态：f＞mg ,  　　　　     终态：a＝0，v＝vmin．    (2)以上讨论的是一种理想化的情形，实际上跳伞时总会受到风速的影响，所以，定点跳伞运动是一项高难度的运动．提到风速，有读者就容易想到水平方向有风力作用.其实，这种思路是错误的，循此思路，读者很快就会发现走入“死胡同”． 　　风力与空气阻力可看似两个不同的概念，但其本质是一致的．刚开始时系统确实要受风力作用，但随着系统在风的方向上的速度的增大，风力将逐渐减小，当系统在水平方向的速度与风的速度大小相同时，在水平方向系统与风无相对速度，则风力变为零．即当系统最终作匀速直线运动时，系统仍将只受到重力与竖直方向的空气阻力作用．系统在竖直方向的速度仍应由平衡条件求解，即其竖直方向的收尾速度仍为vy＝60m/s，而实际的着落速度则是由水平风速与竖直方向的收尾速度合成，即 　　　　 v＝．