Question

如图7-7-16所示，光滑圆管轨道ABC，其中AB部分平直，BC部分是处于竖直平面的、半径为R的半圆.圆管截面的半径r<<R.有一质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度v₀从A点射入圆管.问：

图7-7-16
(1)若要小球能从C端出来，初速度v₀需多大？
(2)在小球从C端出来的瞬间，对管壁作用力有哪几种典型情况？初速度v₀各应满足什么条件？

Answer 1

(1)v₀>
(2)当v₀=时，小球与细管无相互作用力;
当v₀>时,小球对细管上侧壁有竖直向上的弹力;
当<v₀<时，小球对下侧壁有竖直向下的压力

小球在细圆管内的运动过程中，因管道光滑，不受摩擦力作用，所受轨道的弹力与运动方向垂直，不做功，只有重力做功，故机械能守恒.
(1)要使小球能从C端出来，则小球到达C点时速度v_c应不为零.对小球从A至C运动过程应用机械能守恒定律得
mv_c²+mg·2R=mv₀²           ①
因v_C≠0，有mg·2R<mv₀²
故初速度须满足v₀>       ②
(2)小球经过C点受重力mg和细圆管的弹力F_N，根据牛顿第二定律得
F_N+mg=                  ③
由①③式得F_N=-5mg       ④
讨论④式可得：
a.若F_N=0，则v₀=,这时小球与细管无相互作用力；
b.若F_N>0,则v₀>，即当初速度v₀>时，小球受细管上侧壁的竖直向下的弹力(压力)，由牛顿第三定律知，小球对细管上侧壁有竖直向上的弹力；
c.F_N<0(即小球要受到下侧壁竖直向上的支持力)，则结合②式需满足<v₀<，这时小球对下侧壁有竖直向下的压力.