Question

滑板运动是一项非常刺激的水上运动．研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力F_x垂直于板面，大小为kv²，其中v为滑板速率（水可视为静止）．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角为θ=37°时（如图），滑板做匀速直线运动，相应的k=54kg/m，人和滑板的总质量为108kg．（取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.8忽略摩擦阻力和空气阻力）试求：
（1）水平牵引力的大小；
（2）滑板的速率；
（3）水平牵引力的功率．
（4）滑板在水平牵引力作用下做匀速运动，当速度为v时，水平牵引力的功率P将是多大？

Answer 1

分析：（1）对滑板和人整体受力分析，然后运用共点力平衡条件列式求解；
（2）根据平衡条件求出支持力后，根据题中的支持力和速度关系公式求解滑板的速率；
（3）直接根据功率与速度和牵引力关系公式求解．
（4）对滑板和人整体受力分析，重力、支持力和拉力，其中支持力与水面的夹角会变化，根据共点力平衡条件列式求解．

解答：解：（1）以滑板和运动员为研究对象，其受力如图所示

由共点力平衡条件可得
F_Ncosθ=mg ①
F_Nsinθ=F ②
由①、②联立，得
F=810N
即水平牵引力的大小810N．
（2）由①式
F_N=

mg

cosθ

根据题意
F_N=kv²得
v=

mg kcosθ

=5m/s
即滑板的速率为5m/s．
（3）根据功率与速度和牵引力关系公式，牵引力的功率为
P=Fv=4050W
即水平牵引力的功率4050W．
（4）当速率为v时，支持力为：F_N=kv²；
根据平衡条件，拉力为：F=

F 2 N -(mg)2

=

(kv2)2-m2g2

；
故牵引力功率：P=Fv=

(kv2)2-m2g2

?v=54v

v4-400

；
答：（1）水平牵引力的大小为810N；
（2）滑板的速率为5m/s；
（3）水平牵引力的功率为4050N．
（4）滑板在水平牵引力作用下做匀速运动，当速度为v时，水平牵引力的功率P是54v

v4-400

．

点评：本题关键是对物体受力分析，运用共点力平衡条件求出各个力后，再根据题意求解速度和牵引力的功率．