Question

8．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为g₀，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G．假设地球可视为质量均匀分布的球体．下列说法正确的是（　　）

• A． 质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
• B． 质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg₀
• C． 地球的半径为$\frac{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}{4{π}^{2}}$
• D． 地球的密度为$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$

Answer 1

分析 质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力．根据万有引力定律和牛顿第二定律，在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力联立求半径．

解答 解：A、质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力．F=mg₀，故A错误；
B、质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于在地球北极受到的万有引力，即为mg₀，故B正确；
C、设地球的质量为M，半径为R，在赤道处随地球做圆周运动物体的质量为m．
物体在赤道处随地球自转做圆周运动的周期等于地球自转的周期，轨道半径等于地球半径．
根据万有引力定律和牛顿第二定律有$\frac{GMm}{{R}^{2}}$-mg=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力即根据卫星运动的特点：越远越慢，知道在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期=mg₀
解得 R=$\frac{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}{4{π}^{2}}$，故C正确；
D、因为$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，所以 M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$
又因地球的体积V=$\frac{4}{3}$πR³，所以 ρ=$\frac{M}{V}=\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$，故D正确．
故选：BCD

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，根据万有引力定律和牛顿第二定律，地球近地卫星所受的万有引力提供向心力．