Question

17．两根足够长的光滑平行直导轨MN、PQ与水平面成θ=37°放置，两导轨间距为L=10cm，M、P两点间接有阻值为R=1Ω的电阻．一根质量为m=20g的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，它们的电阻不计．现让ab杆由静止开始沿导轨下滑，至达到最大速度的过程中，电阻R中产生的焦耳热为Q=0.0375J，求：
（1）求ab杆下滑的最大速度v_m；
（2）ab杆由静止释放至达到最大速度的过程中，下滑的距离x；
（3）ab杆由静止释放至达到最大速度的过程中，通过电阻R的电量q．

Answer 1

分析 （1）先分析杆的运动情况，确定什么条件下杆的速度达到最大．在分析杆的运动时，注意由于杆的速度逐渐变大因此安培力将逐渐变大，所以杆从导轨上做加速度逐渐减小的加速运动，当安培力等于重力沿导轨分力时匀速运动，同时速度达到最大．
（2）杆下滑过程中，重力势能减小转化为电路中的焦耳热和杆的动能，因此根据功能关系可求出ab杆下滑的距离x；
（3）根据法拉第电磁感应定律求出平均电流，然后根据Q=It即可求出电量．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律有：
E=BLv
根据欧姆定律有：
I=$\frac{E}{R}$
根据安培力公式有：
F_A=BIL
根据牛顿第二定律有：
mgsinθ-F_A=ma
联立即得：
mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma
当加速度a为零时，速度v达最大，速度最大值：
v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.02×10×1×0.6}{{2}^{2}×0．{1}^{2}}$=3m/s
（2）设ab杆由静止释放至达到最大速率的过程通过的位移大小为x．
根据能量守恒定律有：
mgxsinθ=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q
得：x=$\frac{Q}{mgsinθ}$+$\frac{\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}}{mgsinθ}$=$\frac{0.0375}{0.02×10×0.6}+\frac{\frac{1}{2}×0.02×{3}^{2}}{0.02×10×0.6}$=1.0625m
（3）通过电阻R的电荷量 q=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BLx}{R}$=$\frac{2×0.1×1.0625}{1}$=0.2125C
答：（1）求ab杆下滑的最大速度为3m/s；
（2）ab杆由静止释放至达到最大速度的过程中，下滑的距离x为1.0625m；
（3）ab杆由静止释放至达到最大速度的过程中，通过电阻R的电量q为0.2125C．

点评 本题的关键是会推导安培力的表达式，知道感应电荷量的公式量q=$\frac{△Φ}{R}$，再结合平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒研究电磁感应现象，