Question

半径为R的水平圆台，可绕通过圆心O的竖直光滑细轴CC ′ 转动，如图所示，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有凹槽，质量为m_A的物体A放在一个槽内，物体A与槽底间的动摩擦因数为μ，质量为m_B的物体B放在另一个槽内，此槽是光滑的．AB间用一长为l（l<R）且不可伸长的轻绳绕过细轴相连．已知圆台做匀速转动，且A、B两物体相对圆台不动（A、B两物体可视为质点，物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）．

（1）当圆台转动的角速度为ω₀，OA的长度为l₁时，试写出A、B两个物体受到的向心力大小的表达式．

（2）不论圆台转动的角速度为多大，要使物体A和槽之间恰好没有摩擦力，则OA的长为多大？

（3）设OA长为x，试分析圆台的角速度ω和物体A到圆心的距离x所应满足的条件．

 

Answer 1

 

⑴ F_A = m_Aω₀²l₁       …………………………………………………………………1分

F_B = m_Bω₀²(l – l₁)   …………………………………………………………………1分

⑵  F = m_Aω²l₁       …………………………………………………………………1分

F = m_Bω²(l – l₁)  ……………………………………………………………………1分

解得    …………………………………………………………1分

⑶ 当A、B两物体相对转台静止且恰无摩擦时，物体A、B的动力学方程分别为

F = m_Aω²x， F = m_Bω²(l – x)，联立解得   ……………………1分

当A、B两物体相对转台静止且A恰没有做远离轴心的运动时，物体A、B的动力学方程分别为

F+μm_Ag=m_Aω²x，F=m_Bω²(l-x)

，          …………………………1分

当A、B两物体相对转台静止且A恰没有做向轴心的运动时，物体A、B的动力学方程分别为

F - μm_Ag = m_Aω²x，F = m_Bω²(l - x)

，         …………………………1分

综上分析可知                                   

解析:略