Question

17．如图所示，在第二象限内有水平向右的匀强电场，在第一、第四象限内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向如图所示．现有一个带电粒子在该平面内从x轴上的P点，以垂直于x轴的初速度v₀进入匀强电场，恰好经过y轴上的Q点且与y轴成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于x轴进入下面的磁场．已知OP之间的距离为d，（不计粒子的重力）求：
（1）Q点的坐标；
（2）圆周运动的半径；
（3）带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间．

Answer 1

分析 带电粒子在电场中做类平抛运动，以方向与y轴成45°角的速度射出电场，说明此时水平和竖直两个方向的分速度，由位移公式求解出电场时与y轴交点坐标．由牛顿第二定律和运动学公式结合求解场强大小．作出粒子在磁场中运动的轨迹，根据几何知识求出轨迹半径即可求出磁感应强度．根据在第四象限轨迹的圆心角求出运动时间，即可求出自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间．

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速运动，由题得知，出电场时，v_x=v_y=v₀，
由x=$\frac{{v}_{x}}{2}t=d$，y=v_yt，
解得：y=2d，
所以Q点的坐标为（0.2d）．
（2）粒子的轨迹如图，则设粒子在磁场中运动的半径为R，则有：Rsin（180°-β）=y=2d，而β=135°，
解得：R=$2\sqrt{2}d$．
（3）粒子在磁场中运动的速度为v=$\sqrt{2}{v}_{0}$，由R=$\frac{mv}{qB}$得：B=$\frac{m{v}_{0}}{2qd}$，T=$\frac{2πm}{qB}=\frac{4πd}{{v}_{0}}$
粒子在电场中运动时间为：t₁=$\frac{y}{{v}_{0}}=\frac{2d}{{v}_{0}}$，
在第一象限运动时间为：t₂=$\frac{135°}{360°}T=\frac{3πd}{2{v}_{0}}$，
在第四象限内运动的时间为：${t}_{3}=\frac{1}{2}T=\frac{2πd}{{v}_{0}}$，
则运动的总时间为：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（7π+4）d}{2{v}_{0}}$．
答：（1）Q点的坐标为Q（0，2d）；
（2）圆周运动的半径为$2\sqrt{2}d$；
（3）带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间为$\frac{（7π+4）d}{2{v}_{0}}$．

点评 本题关键分析清楚小球的运动规律，然后分别对各个过程运用类平抛运动的分位移和分速度公式、牛顿第二定律等规律列式求解．磁场中关键是画轨迹．