Question

如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v₀的带正电粒子，v₀与ad边的夹角为30°．已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为L，不计粒子的重力．
（1）求要使粒子能从ab边射出磁场，v₀的大小范围．
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场？

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，结合几何关系可确定半径的范围，即可求解；
（2）根据题意确定运动轨迹，再由圆心角与周期公式，即可确定最长运动的时间；根据半径公式与半径的取值，即可求解．

解答：解：（1）粒子带正电，粒子运动的轨迹如图所示，当粒子的速度大于与R₁相对应的速度v₁时，粒子将恰好不从dc边射出．
由几何关系可得：R₁=L ①
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv1B=m

v 2 1

R1

  ②
当粒子的速度小于与R₂相对应的速度v₂时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得：R2+R2sin30°=

1

2

L  ③
由③式解得：R2=

1

3

L    ④
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv2B=m

v 2 2

R2

   ⑤
将①④式分别代入②⑤式可解得：v1=

qBL

m

；v2=

qBL

3m

  ⑥
所以v₀的取值范围是

qBL

3m

＜v0≤

qBL

m

  ⑦
（2）若粒子在磁场中运动的时间最长，其对应的圆周运动的圆心角必然最大，在答图中，当粒子的速度小于v₂时，粒子从ad边的不同位置射出时，其半径虽不同，但圆心角的夹角都是

5

6

×2π，所以粒子在磁场中的运动时间也是

5T

6

，此即粒子在磁场中运动的最长时间．
粒子运动的周期：T=

2πR

v

=

2πm

qB

所以粒子运动的最长时间为：t=

5

6

T=

5πm

3qB

    ⑧
粒子恰好没从ab边射出时，设粒子的轨迹与ad边交与P点，则：

.

OP

=2?R2sin30°=R2=

1

3

L
即：粒子将从O点上方的

1

3

L的范围内射出磁场．
答：（1）使粒子能从ab边射出磁场，v₀的取值范围

qBL

3m

＜v0≤

qBL

m

，
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是t=

5πm

3qB

；在这种情况下，粒子将从O点上方的

1

3

L的范围内射出磁场．

点评：考查牛顿第二定律的应用，掌握几何关系在题中的运用，理解在磁场中运动时间与圆心角的关系．注意本题关键是画出正确的运动轨迹．