Question

8．放置在坐标原点O的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，带电粒子的速率均为v，方向均在纸面内，如图所示，若在某区域内存在垂直于xOy平面的匀强磁场（垂直纸面向外），磁感应强度大小为B，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直于x轴放置的挡板PQ上，求：
（1）挡板PQ的最小长度；
（2）磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）作出平行于x轴入射的粒子轨迹和垂直于x轴入射的电子的轨迹，两个粒子的运动半径相同，通过几何关系可知粒子打到荧光屏MN上的长度等于轨迹的半径．
（2）结合平行于x轴射入的粒子垂直于x轴方向射入的粒子的轨迹，集合几何关系可得知磁场最小面积时的图形，从而可得出最小面积．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
初速度沿x轴负方向的粒子在磁场中转过四分之一圆周，
平行与x轴打在屏上的点是粒子的最高点，
则PQ的最小长度：L=r=$\frac{mv}{qB}$；
（2）取与x轴负方向成θ角的方向射入的粒子为研究对象，
其射出磁场的点为E（x，y），因其射出后能垂直打到屏PQ上，
故有：x=-rsinθ，y=r+rcosθ，解得：x²+（y-r）²=r²，
因为粒子沿x轴负方向射入时，射出的边界点为A点，
沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，
故所加最小面积的磁场的边界是以（0，r）为圆心、r为半径的圆的一部分，
如图中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：
S=$\frac{3}{4}$πr²+r²-$\frac{1}{4}$πr²=（$\frac{π}{2}$+1）（$\frac{mv}{qB}$）²．
答：（1）挡板PQ的最小长度为$\frac{mv}{qB}$；
（2）磁场区域的最小面积为（$\frac{π}{2}$+1）（$\frac{mv}{qB}$）²．

点评 该题在审题时要关注以下两点：
（1）从第二象限射入的电子，速度的大小相同，速度的方向（与x轴的正方向）分布在0°到90°的范围内．
（2）电子穿过磁场后都能垂直地射到MN光屏上，要利用好“垂直”这个条件．
巧解带电粒子在有界磁场中运动问题：
（1）分析思路三步走：①确定圆心，画出轨迹； ②找几何关系，定物理量； ③画动态图，定临界状态．
（2）分析方法四优法：①几何对称法：粒子的运动轨迹关于入射点和出射点的中垂线对称．②动态放缩法：速度越大半径越大，但速度方向不变的粒子圆心在垂直速度方向的直线上．③旋转平移法：定点粒子源发射速度大小相等、方向不同的所有粒子的轨迹圆圆心在以入射点为圆心，半径r=$\frac{mv}{qB}$的圆上，相当于将一个定圆以入射点为圆心旋转．④数学解析法：写出轨迹圆和圆形边界的解析方程，应用物理和数学知识求解．