Question

质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．则：
（1）推导第一宇宙速度v₁的表达式；
（2）求地球的质量M；
（3）求卫星的运行周期T．

Answer 1

（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力定律有：
在地球表面附近：G

Mm

R2

=mg；
恰能离开地球表面做圆周运动：G

Mm

R2

=m

v12

R

；
联立解得：v1=

gR

；
（2）在地球表面附近：G

Mm

R2

=mg；
得地球质量：M=

R2g

G

．
（3）卫星在轨道上做圆周运动时，根据牛顿第二定律有：G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T2

(R+h)
解得：T=2π

(R+h)3 GM

；
答：（1）第一宇宙速度v₁的表达式为v1=

gR

；
（2）地球的质量M为

R2g

G

；
（3）卫星的运行周期T为2π

(R+h)3 GM

．