Question

图中虚线为相邻两个匀强磁场区域1和2的边界，两个区域的磁场方向相反且都垂直于纸面，磁感应强度大小都为B，两个区域的高度都为l．一质量为m、电阻为R、边长也为l的单匝矩形导线框abcd，从磁场区上方某处竖直自由下落，ab边保持水平且线框不发生转动．当ab边刚进入区域1时，线框恰开始做匀速运动；当线框的ab边下落到区域2的中间位置时，线框恰又开始做匀速运动．求：
（1）当ab边刚进入区域1时做匀速运动的速度v₁；
（2）当ab边刚进入磁场区域2时，线框的加速度的大小与方向；
（3）线框从开始运动到ab边刚要离开磁场区域2时的下落过程中产生的热量Q．

Answer 1

分析：（1）由题意，ab边刚进入区域1时，线框恰开始做匀速运动，重力与安培力平衡，由安培力表达式和平衡条件结合，求解速度v₁；
（2）当ab边刚进入磁场区域2时，速度为v₁，由安培力表达式求出此时的安培力，根据牛顿第二定律列式求解加速度；
（3）当线框的ab边下落到区域2的中间位置时，线框又开始做匀速运动，此时安培力又与重力平衡，再由安培力表达式和平衡条件结合求出此时线框的速度v₂，线框从开始运动到ab边刚要离开磁场区域2时的下落过程中，机械能减小转化为内能，根据能量守恒求热量Q．

解答：解：（1）ab边刚进入区域1时，线框恰开始做匀速运动，重力与安培力平衡，则有
   mg=BIl，
又I=

E

R

=

Blv1

R

联立得 mg=

B2l2v1

R

  ①
得 v₁=

mgR

B2l2

（2）当ab边刚进入磁场区域2时，ab和cd两边都切割磁感线产生感应电动势，回路中感应电动势为E′=2Blv₁，感应电流为I′=

E′

R

，线框所受的安培力大小为
  F_安=2BI′l=

4B2l2v1

R

 ②
由①②得：F_安=4mg
根据牛顿第二定律得：F_安-mg=ma
解得，a=3g，加速度方向竖直向上．
（2）当线框的，ab边下落到区域2的中间位置时，线框又开始做匀速运动，设此时线框的速度为v₂，安培力为F_安′=

4B2l2v2

R

则由平衡条件得：mg=F_安′=

4B2l2v2

R

，③
由①③得v₂=

1

4

v1
线框从开始运动到ab边刚要离开磁场区域2时的下落过程中，械能减小转化为内能，根据能量守恒得
   Q=2mgl-（

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

）
联立解得，Q=2mgl+

15m3g2R2

32B4l4

答：
（1）当ab边刚进入区域1时做匀速运动的速度v₁为

mgR

B2l2

（2）当ab边刚进入磁场区域2时，线框的加速度的大小为3g，加速度方向竖直向上．
（3）线框从开始运动到ab边刚要离开磁场区域2时的下落过程中产生的热量Q为2mgl+

15m3g2R2

32B4l4

．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合，关键是安培力的分析和计算，运用牛顿第二定律、平衡条件及电磁感应知识结合进行研究即可．