Question

1930年，美国天文学家汤博发现了曾经是太阳系九大行星之一的冥王星．其发现过程可简化为：太阳系的示意图如图所示，A为太阳系的一颗行星，它绕太阳O运行的轨道近为圆．汤博已测得A行星运动的轨道半径为R_O，周期为T_O．长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t_o时间发生一次最大的偏离．（t_o＞T_o）汤博认为形成这种现象的原因右能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B，它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离假设行星B的运行轨道与A在同一平面同，且与A的绕行方向相同．根据上述现象及假设，对于未知行星B，能估算它的（　　）

A．质量

B．密度

C．体积

D．轨道半径

Answer 1

分析：由于A行星外侧还存在着一颗未知的行星B，所以太阳对A的万有引力和B对A的万有引力之和提供A做圆周运动的向心力，当B与A最近时，B对A的万有引力最大，影响最大，估算出B绕太阳运动的周期，再根据万有引力提供向心力公式分析即可．

解答：解：由题意可知，AB相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t₀时间相距最近，设B行星的周期为T_B，则有：

2π

T0

 t₀-

2π

TB

 t₀=2π
则有：

t0

T0

-

t0

TB

=1
解得：T_B=

T0t0

t0-T0

设A行星的质量为m，B行星的质量为m′，则有：
G

Mm

R02

=m

4π2R0

T02

G

Mm′

RB2

=m′

4π2RB

TB2

解得：R_B=R0

3	( t0 t0-T0 )2

由于万有引力提供向心力公式中，环绕天体的质量两边约去了，所以不能求出B的质量，又不知道B的半径，所以无法求出密度和体积，故D正确，ABC错误．
故选D

点评：本题是万有引力在天体运动中的直接应用，知道AB相距最近时，B对A的影响最大，难度适中．