Question

3．如图所示，北斗导航系统中两颗卫星，均为地球同步卫星．某时刻位于轨道上的A、B两位置．设地球表面赤道处的重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为T．则（　　）

• A． 两卫星轨道半径均为$\root{3}{{{R^3}+{{（{\frac{RT}{2π}}）}^2}g}}$
• B． 两卫星轨道半径均为$\root{3}{{{{（{\frac{RT}{2π}}）}^2}g}}$
• C． 卫星1由A运动到B所需的最短时间为$\frac{T}{3}$
• D． 两卫星角速度大小均为$\frac{2π}{T}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，求出轨道半径，再根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力，化简得到轨道半径．
同步卫星做匀速圆周运动，卫星1由位置A运动到位置B所需的时间t=$\frac{θ}{2π}T$，代入角度值化简即可．两同步卫星的周期T相同，所以角速度均为$ω=\frac{2π}{T}$．

解答 解：AB、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
又因为地球表面的物体受到的重力等于万有引力与向心力之差，即为$m′g=G\frac{Mm′}{{R}^{2}}$-m′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，
解得r=$\root{3}{{{R^3}+{{（{\frac{RT}{2π}}）}^2}g}}$，故A正确、B错误．
C、同步卫星做匀速圆周运动，故卫星l由A运动到B所需的最短时间为t=$\frac{θ}{2π}T$=$\frac{\frac{π}{3}T}{2π}=\frac{T}{6}$，故C错误．
D、两同步卫星的周期T相同，所以角速度均为$ω=\frac{2π}{T}$，故D正确．
故选：AD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两大理论，并能熟练运用．