Question

（2007?苏州二模）一玩具“火箭”由箭头和箭身两部分和一短而硬（即劲度系数很大）的轻质弹簧构成．已知箭头的质量为m，箭身的质量为2m，弹簧夹在箭头与箭身之间，与二者接触而不连接．让箭头、箭身压紧弹簧，并将它们锁定，此时弹簧的弹性势能为已知的定值E₀，通过遥控可解除锁定，设这一释放过程的时间极短，且无机械能损失．
第I种方案：让玩具悬空在一枯井的井口并处于静止状态时解除锁定，从而使箭头升空．
第Ⅱ种方案：让玩具在井口处从静止开始自由下落，撞击井底（井足够深）后以原速率反弹，反弹后当玩具竖直向上运动到离井口深度为某值h时解除锁定．已知在上述过程中箭头始终在上方，求
（1）在第I种方案中，箭头升空到达的最大高度（从井口算起）H₁；
（2）在第Ⅱ种方案中，欲使解除锁定前、后箭头动能的增量不小于弹簧的弹性势能E₀，求解除锁定时箭头离井口深度h的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在第I种方案中，解除锁定时，箭头、箭身、弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒，根据两大守恒定律列式求出弹簧刚伸长至原长的时刻，设箭头速度的大小为弹簧恢复原长后箭头和箭身的速度大小，再对箭头，根据机械能守恒定律求最大高度H₁；
（2）在第Ⅱ种方案中，玩具先自由下落，由机械能守恒列式求出到井底前瞬间的速度大小，即为反弹后的速度大小．解除锁定过程，同样根据系统动量守恒、机械能守恒列式求出深度h的取值范围．

解答：解：（1）在弹簧刚伸长至原长的时刻，设箭头速度的大小为v₁、方向向上，箭身速度的大小为v₂，方向向下，根据系统动量守恒，则有
  mv₁-2mv₂=0      ①
根据机械能守恒有
 

1

2

m

v

2 1

+

1

2

(2m)

v

2 2

=E₀    ②
解①、②两式，得
 v₁=

4E0 3m

 ③
设箭头升空到达的最高点到井口的距离为H₁，则
  H₁=

v 2 1

2g

   ④
联立解得：H₁=

2E0

3mg

  ⑤
（2）在玩具自井底反弹向上运动至离井口的深度为h时，解除锁定前玩具向上的速度为
 u=

2gh

  ⑥
设解除锁定后，弹簧刚伸长至原长时，箭头速度的大小为v₁′、方向向上，箭身速度的大小为v_2′，方向向下，则有
  mv₁′-2mv₂′=3mu ⑦
 

1

2

mv1′2+

1

2

(2m)v2′2=

1

2

(3m)u2+E0  ⑧
对于箭头：据题意知解除锁定前、后其动能的增量应满足关系式
 

1

2

mv1′2+

1

2

mu2≥E₀ ⑨
联立⑥⑦⑧⑨式解得，h的取值范围为 h≥

E0

24mg

答：
（1）在第I种方案中，箭头升空到达的最大高度（从井口算起）H₁为

2E0

3mg

．
（2）在第Ⅱ种方案中，欲使解除锁定前、后箭头动能的增量不小于弹簧的弹性势能E₀，解除锁定时箭头离井口深度h的取值范围为 h≥

E0

24mg

．

点评：本题要抓住解锁过程，系统的动量守恒和机械能守恒，按程序法进行分析，加以讨论分析，即可正确解答．