Question

如图所示，AB是固定在竖直平面内半径为R的光滑半圆弧，CD是与AB在同一竖直平面内半径为1.5R的四分之一光滑圆弧轨道，其底端D切线水平，且与AB弧圆心O₁等高。现将质量为m的小球（可视为质点）从圆弧CD上与圆心O₂等高的C处由静止开始释放，小球落进半圆弧AB并与之内壁碰撞，碰撞过程中不损失机械能，结果小球刚好能回到D点并能沿DC弧返回C 。重力加速度g取10m/s²。试求：
（1）小球刚滑到D点时，对D端的压力大小；
（2）CD弧底端D距AB弧圆心O₁的距离；
（3）小球与AB的弧面碰撞时的速度大小。

Answer 1

解：（1）选取D所在平面为零重力势能参考面，由机械能守恒有：
 ①
则 ②
小球运动到D点时应用牛顿第二定律有： ③
解②③两式得：
由牛顿第三定律可得：小球对D点的压力大小为3mg
（2）要使小球能按原路反弹回去，小球必须垂直打在圆弧上，设击点为E，连接O₁E，此为过E点的切线，过E作AB垂线，交点为F，则O₁为DF的中点，由平抛运动的知识有：

，  
在直角中，由勾股定理有，
解得：，DO₁=O₁F
（3）平抛运动的初速为，竖直方向的末速度为：
故所求的速度大小为：